球差【光学像差】
前言与目录
介绍球差概念，什么是轴上球差和垂轴球差，带球差，以及球差如何校正；同时也结合zemax更详细的解释球差，如何判断球差大小，和如何进行球差控制；希望可以简单易懂，也尽量详细，同时内容都有意义。
目录
1、轴上球差（Axial Spherical Aberration）
2、垂轴球差（Tangential Spherical Aberration）
正文
一、球差的定义
当光入射到单个透镜上时，无限靠近光轴的光线将聚焦到近轴像的位置。随着透镜上光线高度的增加，像方空间中光线与光轴相交，即聚焦的位置越来越靠近透镜。这种随孔径变化的焦点位置的变化称为球差(sphericalaberration),也称球面像差。
可以看到，不同孔径或者说位置入射到透镜上，聚焦的位置不同；
轴上物点的物距L确定时，其像点位置L'是孔径角U（或h）的函数，实际像点与理想像点的位置之差，叫做球差。球差（Spherical aberration）亦称球面像差。轴上物点发出的光束，经光学系统以后，与光轴夹不同角度的光线交光轴于不同位置，因此，在像面上形成一个圆形弥散斑，这就是球差。一般是以实际光线在像方与光轴的交点相对于近轴光线与光轴交点（即高斯像点）的轴向距离来度量它。
对于单色光而言，球差是轴上点成像时唯一存在的像差。轴外点成像时，存在许多种像差，球差只是其中的一种。除特殊情况外，一般而言，单个球面透镜不能校正球差，正透镜产生负球差，负透镜产生正球差（如下图的负球差）。对一定位置的物点而言,当保持透镜的孔径和焦距不变时,球差的大小随透镜的形状而异。因此，以适当形状的正、负透镜组合成的双透镜组或双胶合镜组是可能消球差的一种简单结构。保持透镜的焦距不变而改变透镜形状，犹如把柔软的物体弯来弯去,故被称为透镜的整体弯曲,它是光学设计时校正像差的一种重要技巧。
也可以理解为近轴光线产生的焦点位置，与轴外光线产生的焦点位置之间的距离，就是球差大小，这个也是轴上球差的概念
二、球差的形成原因
不同孔径角U的光线交光轴于不同点上，相对于理想象点的位置有不同的偏离。
球差是轴上点唯一的单色像差。
对于我自己而言，是按照菲涅尔折射原理去理解的，供参考一下：
-
菲涅尔折射定律的非线性：菲涅尔折射定律的公式是非线性的，在近轴条件下是近似线性的，高斯公式才成立。越偏离轴偏转能力越强，导致不同孔径区域的光束最后汇集在光轴的不同位置。
按这个原理，很容易就理解了为什么正透镜产生负球差，负透镜产生正球差，就是由于越偏离轴的位置，偏转能力越强，聚焦在了不同的位置上；
三、球差的大小和度量
对于球差的描述，应该先理解什么是轴上的球差和垂轴上的球差，顾名思义，如下图，对于不同的角度入射（不同的孔径角U），或者不同的孔径大小（h和hm）；按不同的描述有𝛿𝐿′和𝛿T′，在光轴方向之间的差值就是轴上球差，垂轴上的差值就是垂轴球差；
1、轴上球差（Axial Spherical Aberration）
轴上球差是指轴上物点发出的光束通过透镜时，不同孔径区域的光束最后汇集在光轴的不同位置，在像面上形成圆形弥散斑。轴上球差的计算公式为：
𝛿𝐿′=𝐿′−𝑙′
其中：
- 𝛿𝐿′是轴上球差；
- 𝐿′是实际焦点到像面的距离；
- 𝑙′是理想焦点到像面的距离。
轴上球差的符号规则是从理想像点计算到实际光线交点。如果实际光线交点在理想像点之后，则球差为正；如果在之前，则球差为负。
2、垂轴球差（Tangential Spherical Aberration）
垂轴球差是指由于轴上球差的存在，导致点物经系统之后所成的不再是点像而是一个弥散斑。垂轴球差的计算公式为：
𝛿𝑦′=𝛿𝐿′⋅tan𝑈′
其中：
- 𝛿𝑦′是垂轴球差；
- 𝛿𝐿′是轴上球差；
- 𝑈′是光线与光轴的垂轴角度。
垂轴球差描述了光线在像面上的垂直偏移量，这个偏移量与轴上球差和光线与光轴的角度的正切值成正比。
3、正球差、负球差
一般描述球差的正负，都是针对于轴上球差去描述的，我们应该知道，一般规定沿着光轴向右就是正，所以：
𝛿𝐿′ 符号规则：由理想像点计算到实际光线交点；
𝛿𝐿′ >0 --- 正球差：
𝛿𝐿′<0 --- 负球差：
四、球差曲线
显然,与光轴成不同孔径角U的光线具有不同的球差。孔径角对应的入射光线高度
称为全孔径,对应的球差称为边光球差，用
表示；若 h/hm=0.707，则称之为 0.707 孔径或 0.707 带光，对应的球差称为0.707带光球差,用
表示;其他带光球差,如
、
、
等,也可类推称之。进一步类推到视场,若视场中 y/ym=0.707,也可称之为0.707带视场。
垂轴球差表示由轴向球差引起的弥散圆半径,用来度量球差大小。但平常所说的球差一般指的是轴向球差 𝛿𝐿′。
在垂轴平面内度量的球差称为垂轴球差(也称横向球差)，用符号 表示，其表达式为：
对应最大孔径角Umax入射光线的高度hmax被称为全孔径（边光球差）。
若
，则称为0.7孔径或0.7带光（带光球差）。
由于球差校正不足而产生如下形式的曲线：
由于球差过校正而产生如下形式的曲线：
四、球差的表示方法
已知球差是入射光线高度
或孔径角
的函数,并且在轴上视场产生时为旋转对称像差，故在级数展开式中只能包含
或
的偶次项。当h=0或U=0时，
=0，因此展开式中没有常数项。此外，球差是轴上点像差，与视场无关，所以展开式中就没有视场
或
项。因此球差的级数展开式可表示为：
式中，第一项称为初级球差，第二项为二级球差，第三项为三级球差，以此类推。除了第一项初级球差，后面的球差统称高级球差。A1、A2，A3 分别为初级球差系数、二级球差系数和三级球差系数。大部分光学系统二级以上的更高级的球差很小,可以忽略。因此,球差可近似用初级球差和二级球差两项来表示。在绘制球差曲线的时候，通常把纵坐标取为h/hm，所以球差也可以表示为 ：
初级球差的大小与结构参数r、d、n密切相关,而高级球差的数值则相对固定，所以校正球差的过程实际就是改变初级球差，让它和后面的高级球差等大反号，以平衡掉后面的高级球差，这是像差校正的基本思想。
初级像差只包含孔径和视场的低级次项,对大的孔径和视场失去意义。设计光学系统时要进行大量的初级像差计算，只有当初级像差达到预定值后，才有必要全面计算一次实际像差。通过对实际像差的全面分析、评价，进而定出初级像差的目标值，重新修改结构参数。如此反复进行,逐步优化,直到获得像差的最佳校正和平衡为止。
德国科学家赛德尔首先提出了具有对称轴的光学系统的初级像差理论。对于已知结构(r、d、n)的光学系统，当物距和入射光瞳位置给定时，空间光线通过光学系统的单色像差近似取决于视场和孔径。像差展开为级数时，在视场和孔径为零的情况下，像差也为零，赛德尔用和数 分别表示初级球差、初级彗差、初级像散、初级场曲、初级畸变。所以常把这五个和数分别称为第一、第二、第三、第四、第五赛德尔和数。
由于光学系统是由多个光组构成的，而每一个折射面都将对整个系统的球差有所贡献，整个系统的球差值就是各个折射面产生的球差传递到系统像空间后相加而成的，故称每个折射面对系统总球差的贡献量值为球差分布。所谓的球差分布式是指构成系统的每个面对球差的贡献，其形式为
公式中为光学系统的球差系数,S为每个面上的球差分布系数；
因初级球差在近轴区内有意义,而在这个区域内角度很小,所以角度的正弦值可以用弧度值来代替,初级球差可以表示为
五、球差的影响
整个孔径光束的垂轴球差在像面上形成了一个对称于光轴的圆形弥散斑，严重时使轴上点成像变得模糊不清。
六、球差的校正
(1) 单个球面不产生球差的三个位置
(2) 齐明透镜
(3) 单透镜的球差
(4) 正负透镜的组合
七、消球差
A、消球差系统一般只能使一个孔径球差为零；
B、通常对边缘孔径校正球差；
C、不能使所有孔径的球差为零；
D、负值球差—校正不足，正值球差—校正过头。
--参考资料
1、球差【百度百科】
2、ZEMAX光学系统设计实训教程
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