普及组集训--图论最短路径
定义：表示顶点u到顶点v的一条边的权值（边权）
最短路径算法有常见的四种：floyd，dijkstra，Bellman-Ford，SPFA
不过Bellman-Ford并不常用，所以本文不提；
重点在于dijkstra，spfa;
floyd(O(n^3))
思想是对所有边进行松弛操作。
code:
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);//松弛操作
}
}
}代码解读：
可以把k理解为的中转点，而后
故：描述不太严谨
形象一些：
上图即为所有最短路径算法的普遍思想。
dijkstra(O(n^2+m))
把节点分为两个集合，一是以确定的出现在最短路径上的点集合，记为S；二是没确定的节点记为集合T，一开始所有点都属于T集合。其实就是著名的蓝白点思想可以去百度搜一搜。
code:
//无向图邻接矩阵存图；
for(int i=1;i<=n;i++){
dis[i]=f[s][i];//dis[i]=E(s,i)
}
for(int i=1;i<=n-1;i++){//枚举中转点
k=0;
minl=0x3ffffff;//初始为无穷
for(int j=1;j<=n;j++){
if(!vis[j]&&dis[j]<minl){
minl=dis[j];
k=j;
}
}
if(k==0)break;//没找到中转点直接退出
vis[k]=1;//标为白点
for(int j=1;j<=n;j++){
dis[j]=min(dis[j],dis[k]+f[k][j]);//松弛操作
}
}
return dis[e];//min(E(s,e))SPFA(O(KE) or O(nm))
关于复杂度：其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2;
SPFA就是Bellman-Ford的一种实现方式，使用了队列优化让复杂度变低
spfa也会用到松弛操作。
前置芝士：链式前向星
//用链式前向星来存图
void add(int a,int b,int c){//从a到b的一条边权为c的边
to[++cnt]=b;
val[cnt]=c;
nxt[cnt]=h[a];
h[a]=cnt;
} code:
queue<int>q;//队列
void spfa(){
for(int i=1;i<=n;i++){
dis[i]=0x3fffff;//初始为无穷
}
dis[s]=0;
vis[s]=1;
q.push(s);//入队(把源点加入队列)
while(!q.empty()){
int u=q.front();
q.pop;//弹出队列
vis[u]=0;//没被加入队列过
for(int i=h[u];~i;i=nxt[i]){//找h[u]的所有连边进行松弛操作
if(dis[u]+val[i]<dis[to[i]]){
dis[to[i]]=dis[u]+val[i];//对该边进行松弛操作
if(!vis[to[i]]){//若没有加入队列
q.push(to[i]);//加入队列
vis[to[i]]=1;//标记为已经加入队列（白点）
}
}
}
}
} 在随机数据下spfa直接封神。
但如果不是随机数据，且有一堆特殊情况而且数据毒瘤，要设置分层图时，不要用spfa
原文地址：https://blog.csdn.net/2301_78836126/article/details/144167014
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