【GAMES101笔记速查——Lecture 22 Animation Cont】
目录
1.2.3 解决不稳定性（Combating Instability）
（3）隐式欧拉方法（Implicit Euler Method）
（5）非物理（Position-Based / Verlet Integration）
3.2 材质点方法（Material Point Method (MPM)）
1 单粒子模拟
一个物体在t0的时候在某个位置，在t1时刻的时候在哪里？
假设粒子处在一个速度场中：只要知道粒子的位置，就可以知道它的速度。
在任何一个位置、任何一个时间都知道速度：定义为位移的导数
这个写法叫做常微分方程（单变量微分方程）。
起始点定义为x0，给出任意的时间t都能给出位置。
1.1 欧拉方法
欧拉方法：在时间上进行离散化，用上一个时刻的数值来算下一个时刻的数值
1.2 不稳定性及其改进
1.2.1 误差（Errors）
步长Δt越小，误差越小，就更精确。
1.2.2 不稳定性（Instability）
螺旋形出现的问题：无论取多大的步长，都不可能沿着螺旋形的轨迹走。
下面的图形，越模拟和实际的结果相距越远，直到无限远。
一切用数值解解微分方程都会遇到的问题：误差、不稳定性
不稳定性这个问题比较大，有可能会在实际中导致一些难以解释的问题，比如下面这个小轿车装上摩托车之后在空中进行的一些迷惑运动
1.2.3 解决不稳定性（Combating Instability）
（1）中点法
原本在速度场中，这个点应该往a方向走。但现在不使用指向a的速度方向，而使用起始点和a点连线的中点处的速度方向，也就是b。此时用b这个速度方向来更新当前点的位置，会发现更新后，当前点到达了c点。
实际上用了两次欧拉方法。
观察公式可知：中点法更加准确的原因在于它有个Δt的二次方项，能模拟出类似抛物线的形状，能比一次的线性模型更准确一点。
（2）自适应改变步长
有人想要结合a点和c点的信息。
先按照欧拉方法计算出一个xT
再把Δt分成两半，应用两次欧拉方法得到xT/2
如果xT 和xT/2 相差很大，那就说明xT/2更接近真实的情况，此时，继续细分Δt，逼近真实值。
如果xT 和xT/2 相差不大，那就说明目前计算出的下一个点的位置精确度已经足够，可以进行下一步计算。
（3）隐式欧拉方法（Implicit Euler Method）
也叫：后向欧拉方法
用下一个时刻的速度、加速度（未知量）来计算下一个时刻的位移和速度。
最后形式是一个方程组，需要解出来，用求根公式或者优化方法来解，这样会慢很多。但隐式欧拉方法的稳定性比较好。
如何定义一个方法的稳定性和稳定程度？
局部截断误差：每一步的误差
整体累积误差
人们认为研究这两个数值没意义，应该研究这两个误差的阶，也就是和误差如何随着Δt的减小而减少的。
直接给结论：隐式欧拉方法是一阶的。
一阶：如果把h减小一半，那么期望得到的误差也减小一半
二阶：h小一半，得到的误差减小1/4
···
（4）龙格-库塔 系列方法
RK4是一个4阶的方法，这个应用比较广泛。
相当于中点法的一个推广，里面的权重经过精心设计。
（5）非物理（Position-Based / Verlet Integration）
这种的方法直接改变粒子的位置
2 刚体模拟（Rigid Body Simulation）
刚体不会发生形变，会让其内部所有的点按照同一种情况运动，可以把刚体看作一个粒子。在刚体模拟中，在原本的位置和速度的基础上，会关注更多的量：
位置、朝向、速度、角速度······
3 流体仿真（Fluid Simulation）
主要思想：
水体是由许多、不可压缩的、刚体小球组成的
认为水在任何一个位置都不可以压缩
给任何一个时刻，小球分布的位置，如果任何一个地方的密度和原本水的密度不一样，那么就通过移动小球，修正这种密度。
我们需要知道：任何一个点的密度对任何小球位置的梯度。
然后进行梯度下降方法来修正。
3.1 质点法vs网格法
模拟大规模物质的两个思路：质点法（拉格朗日方法） vs网格法（欧拉方法）
网格法是盯着一个固定的空间，关注每个空间的密度变化等。
3.2 材质点方法（Material Point Method (MPM)）
结合了质点法和网格法
首先认为不同的粒子具有一些属性：密度、质量，这些信息存在质点上
融化的过程在网格中完成。
然后将网格中的数据写回给粒子。
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