关于dq坐标系下的功率计算无功公式问题
有时候我们会发现dq坐标系下的功率计算不同文献无功的表达式不一样：
第一种表达式(等功率dq变换没有系数1.5)：
p
~
=
v
o
d
i
o
d
+
v
o
q
i
o
q
q
~
=
v
o
q
i
o
d
−
v
o
d
i
o
q
\begin{aligned} & \tilde{p}=v_{o d} i_{o d}+v_{o q} i_{o q} \\ & \tilde{q}=v_{o q} i_{o d}-v_{o d} i_{o q} \end{aligned}
p~=vodiod+voqioqq~=voqiod−vodioq
第二种表达式(等功率dq变换没有系数1.5)：
p
~
=
v
o
d
i
o
d
+
v
o
q
i
o
q
q
~
=
v
o
d
i
o
q
−
v
o
q
i
o
d
\begin{aligned} & \tilde{p}=v_{o d} i_{o d}+v_{o q} i_{o q} \\ & \tilde{q}=v_{o d} i_{o q}-v_{o q} i_{o d} \end{aligned}
p~=vodiod+voqioqq~=vodioq−voqiod
上述两种dq坐标系下的功率计算表达式中，无功功率 q ~ \tilde{q} q~的表达式不同，这确实与派克变换（Park Transformation）中d、q轴的定义方向选择有关。具体原因如下：
1. 派克变换的定义差异
派克变换用于将三相静止坐标系的变量变换为旋转坐标系变量。其核心在于d、q轴的定义方向不同：
-
第一种表达式：
- d轴与定子电压矢量（或参考矢量）同向；
- q轴垂直于d轴，并按照右手定则逆时针方向定义。
在这种定义下， q ~ = v o q i o d − v o d i o q \tilde{q}=v_{o q}i_{o d}-v_{o d}i_{o q} q~=voqiod−vodioq表示无功功率的符号遵循右手定则。
-
第二种表达式：
- d轴仍与定子电压矢量（或参考矢量）同向；
- 但q轴按照左手定则顺时针方向定义（即与第一种方向相反）。
在这种定义下， q ~ = v o d i o q − v o q i o d \tilde{q}=v_{o d}i_{o q}-v_{o q}i_{o d} q~=vodioq−voqiod，此时无功功率的符号遵循左手定则。
派克变换的核心是将三相静止坐标系（ α β \alpha\beta αβ）的电压或电流分量转换到旋转坐标系（dq）中，其具体变换表达式与选择的旋转方向（顺时针或逆时针）有关。以下分别给出两种不同定义下的派克变换表达式。
第一种（逆时针旋转，右手定则，常见定义）
旋转角速度
ω
\omega
ω，变换矩阵为：
[
v
d
v
q
]
=
[
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
]
[
v
α
v
β
]
\begin{bmatrix} v_d \\ v_q \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{bmatrix}
[vdvq]=[cosθ−sinθsinθcosθ][vαvβ]
具体为：
v
d
=
v
α
cos
θ
+
v
β
sin
θ
,
v
q
=
−
v
α
sin
θ
+
v
β
cos
θ
.
\begin{aligned} v_d &= v_\alpha \cos\theta + v_\beta \sin\theta, \\ v_q &= -v_\alpha \sin\theta + v_\beta \cos\theta. \end{aligned}
vdvq=vαcosθ+vβsinθ,=−vαsinθ+vβcosθ.
逆变回静止坐标系（dq →
α
β
\alpha\beta
αβ）时，变换矩阵为：
[
v
α
v
β
]
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
[
v
d
v
q
]
\begin{bmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_d \\ v_q \end{bmatrix}
[vαvβ]=[cosθsinθ−sinθcosθ][vdvq]
无功功率表达式
对应的功率公式：
p
~
=
v
d
i
d
+
v
q
i
q
,
q
~
=
v
q
i
d
−
v
d
i
q
\tilde{p}=v_d i_d + v_q i_q, \quad \tilde{q}=v_q i_d - v_d i_q
p~=vdid+vqiq,q~=vqid−vdiq
第二种（顺时针旋转，左手定则，另一种定义）
旋转角速度
ω
\omega
ω，变换矩阵为：
[
v
d
v
q
]
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
[
v
α
v
β
]
\begin{bmatrix} v_d \\ v_q \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{bmatrix}
[vdvq]=[cosθsinθ−sinθcosθ][vαvβ]
具体为：
v
d
=
v
α
cos
θ
−
v
β
sin
θ
,
v
q
=
v
α
sin
θ
+
v
β
cos
θ
.
\begin{aligned} v_d &= v_\alpha \cos\theta - v_\beta \sin\theta, \\ v_q &= v_\alpha \sin\theta + v_\beta \cos\theta. \end{aligned}
vdvq=vαcosθ−vβsinθ,=vαsinθ+vβcosθ.
逆变回静止坐标系（dq →
α
β
\alpha\beta
αβ）时，变换矩阵为：
[
v
α
v
β
]
=
[
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
]
[
v
d
v
q
]
\begin{bmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_d \\ v_q \end{bmatrix}
[vαvβ]=[cosθ−sinθsinθcosθ][vdvq]
无功功率表达式
对应的功率公式：
p
~
=
v
d
i
d
+
v
q
i
q
,
q
~
=
v
d
i
q
−
v
q
i
d
\tilde{p}=v_d i_d + v_q i_q, \quad \tilde{q}=v_d i_q - v_q i_d
p~=vdid+vqiq,q~=vdiq−vqid
2. dq轴方向选择对功率的影响
dq坐标系的变换过程是通过旋转矩阵实现的，旋转方向的选择决定了结果中d、q轴的正负方向：
- 若旋转矩阵选择的方向为逆时针，则无功功率 q ~ \tilde{q} q~的表达式符合第一种情况；
- 若旋转矩阵选择的方向为顺时针，则无功功率 q ~ \tilde{q} q~的表达式符合第二种情况。
尽管两种方式在数学形式上不同，但本质上表达的物理意义是相同的，只是符号方向的定义有所区别。
3. 实际使用中的注意事项
- 参考坐标系的选择：无论选取哪种派克变换，都需要在电气模型的整个分析过程中保持一致。
- 文献约定：不同文献可能基于不同的派克变换习惯，导致 q ~ \tilde{q} q~的符号与公式略有不同，需要仔细辨别其变换矩阵的定义。
- 功率的物理意义不变：无功功率的正负符号反映了能量交换的方向，无论采用哪种变换方式， ∣ q ~ ∣ \vert\tilde{q}\vert ∣q~∣的大小和实际意义始终一致。
4. 结论
两种表达式的差异源于派克变换时旋转方向的定义不同（逆时针或顺时针）。这种差异不会改变功率计算的物理意义，只是公式形式和符号方向有所区别。在阅读文献或工程实践中，应根据上下文判断所使用的派克变换类型。
对比两种派克变换的关键区别
| 特性 | 第一种（逆时针） | 第二种（顺时针） |
|---|---|---|
| dq轴旋转方向 | 逆时针（右手定则） | 顺时针（左手定则） |
| 变换矩阵符号 | + sin θ , − sin θ +\sin\theta, -\sin\theta +sinθ,−sinθ | − sin θ , + sin θ -\sin\theta, +\sin\theta −sinθ,+sinθ |
| 无功功率公式 | q = v q i d − v d i q q=v_q i_d - v_d i_q q=vqid−vdiq | q = v d i q − v q i d q=v_d i_q - v_q i_d q=vdiq−vqid |
| 物理意义 | 相同 | 相同 |
无论哪种定义，其物理意义是等效的，但在计算公式中表现出的符号和角度方向会有所差异。选择时需与系统的定义保持一致。
原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_44114030/article/details/144300478
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