知第一、第二基本形式求曲面
知第一、第二基本形式求曲面
求曲面，它的第一、第二基本形式分别为
I = ( 1 + u 2 ) d u d u + u 2 d v d v I I = 1 1 + u 2 ( d u d u + u 2 d v d v ) I=(1+u^2)\mathrm{d}u\mathrm{d}u+u^2\mathrm{d}v\mathrm{d}v\\II=\frac1{\sqrt{1+u^2}}(\mathrm{d}u\mathrm{d}u+u^2\mathrm{d}v\mathrm{d}v) I=(1+u2)dudu+u2dvdvII=1+u21(dudu+u2dvdv)
解：
假定该曲面的参数方程是 r = ( u cos v , u sin v , u 2 2 ) \mathbf{r}=(u\cos v,u\sin v,\frac{u^2}2) r=(ucosv,usinv,2u2) ,那么
r u = ( cos v , sin v , u ) r v = ( − u sin v , u cos v , 0 ) \mathbf{r}_{u}=(\cos v,\sin v,u)\\\mathbf{r}_{v}=(-u\sin v,u\cos v,0) ru=(cosv,sinv,u)rv=(−usinv,ucosv,0)
这就满足第一基本型的所有条件。
再计算
n = ( − u cos v , − u sin v , 1 ) u 2 + 1 \mathbf{n}=\frac{(-u\cos v,-u\sin v,1)}{\sqrt{u^2+1}} n=u2+1(−ucosv,−usinv,1)
计算有
r u u = ( 0 , 0 , 1 ) r u v = ( − sin v , cos v , u ) r v v = ( − u cos v , − u sin v , 0 ) \mathbf{r}_{uu}=(0,0,1)\\\mathbf{r}_{uv}=(-\sin v,\cos v,u)\\\mathbf{r}_{vv}=(-u\cos v,-u\sin v,0) ruu=(0,0,1)ruv=(−sinv,cosv,u)rvv=(−ucosv,−usinv,0)
那么
L = r u u ⋅ n = 1 u 2 + 1 M = r u v ⋅ n = 0 N = r v v ⋅ n = u 2 u 2 + 1 L=\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}=\frac1{\sqrt{u^2+1}}\\M=\mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{n}=0\\N=\mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}=\frac{u^2}{\sqrt{u^2+1}} L=ruu⋅n=u2+11M=ruv⋅n=0N=rvv⋅n=u2+1u2
这就满足第二基本型的所有条件。
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