【高等数学&学习记录】隐函数及由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率

一、知识点

（一）隐函数的导数

• 显函数

  对于形如 $y=sinx$ 这种等号左端是因变量，右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这个式子能确定对应的函数值，这种方式表达的函数叫做显函数.

• 隐函数

  对于形如 $x+y^3-1=0$ 这种形式的函数称为隐函数.

• 隐函数的显化

  把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化. 但是，有时隐函数的显化是有困难的，甚至是不能的.

• 计算隐函数的导数

  方程两边分别对 $x$ 求导数，以获得 $\frac{dy}{dx}$ 的值.

（二）由参数方程所确定的函数的导数

• 参数方程所确定的函数

  一般的，若参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ 确定 $y$ 与 $x$ 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.

  该函数的 $x$ 的导数公式为 $\frac{dy}{dx}=\frac{{\phi }^{\prime }(t)}{{\psi }^{\prime }(t)}$.

（三）相关变化率

• 设 $x=x(t)$ 及 $y=y(t)$ 都是可导函数，而变量 $x$ 与 $y$ 间存在某种关系，从而变化率 $\frac{dx}{dt}$ 与 $\frac{dy}{dt}$ 间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.
• 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.

二、练习题

1. 求由下列方程所确定的隐函数的导数 $\frac{dy}{dx}$:

• (1) $y^2-2xy+9=0$

  $2y\frac{dy}{dx}-2x\frac{dy}{dx}-2y=0$

  $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{y-x}$

• (2) $x^3+y^3-3axy=0$

  $3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-3ay-3ax\frac{dy}{dx}=0$

  $\frac{dy}{dx}=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}$

• (3) $xy=e^{x+y}$

  $x\frac{dy}{dx}+y=e^{x+y}(1+\frac{dy}{dx})$

  $\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x+y}-y}{x-e^{x+y}}$

• (4) $y=1-x{e}^y$

  $\frac{dy}{dx}=-e^y-x{e}^y\frac{dy}{dx}$

  $\frac{dy}{dx}=-\frac{e^y}{1+x{e}^y}$

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2. 求曲线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ 在点 $(\frac{\sqrt{2}}{4}a,\frac{\sqrt{2}}{4}a)$ 处的切线方程和法线方程.

• 解：

  $\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3}{y}^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx}=0$

  $\frac{dy}{dx}=-\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}}$

  点 $(\frac{\sqrt{2}}{4}a,\frac{\sqrt{2}}{4}a)$ 的横纵坐标相等，所以此点处切线斜率为： $-1$，法线斜率为：1.

  切线方程为：$y-\frac{\sqrt{2}}{4}a=-x+\frac{\sqrt{2}}{4}a$，即 $y=-x+\frac{\sqrt{2}}{2}a$

  法线方程为：$y-\frac{\sqrt{2}}{4}a=x-\frac{\sqrt{2}}{4}a$，即 $y=x$

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3. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$:

• 解：

• (1) $x^2-y^2=1$

  $2x-2y\frac{dy}{dx}=0$

  $\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}$

  $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}$

  $=\frac{y-x\cdot \frac{x}{y}}{y^2}$

  $=\frac{y^2-x^2}{y^3}$

  $=-y^{-3}$

• (2) $b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$

  $b^2\cdot 2x+a^2\cdot 2y\frac{dy}{dx}=0$

  $\frac{dy}{dx}=-\frac{x{b}^2}{y{a}^2}$

  $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{y{a}^2{b}^2-x{b}^2{a}^2\frac{dy}{dx}}{y^2{a}^4}$

  $=-\frac{a^2{b}^2{y}^2+b^4{x}^2}{a^4{y}^3}$

  $=-\frac{b^2(a^2{y}^2+a^2{x}^2)}{a^4{y}^3}$

  $=-\frac{a^2{b}^4}{a^4{y}^3}$

  $=-\frac{b^4}{a^2{y}^3}$

• (3) $y=tan(x+y)$

  $\frac{dy}{dx}=se{c}^2(x+y)(1+\frac{dy}{dx})$

  $\frac{dy}{dx}=\frac{se{c}^{2}x(x+y)}{1-se{c}^2(x+y)}=-cs{c}^2(x+y)$

  $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d[-cs{c}^2(x+y)]}{dx}$

  $=2si{n}^{-3}(x+y)cos(x+y)(1+\frac{dy}{dx})$

  $=2si{n}^{-3}(x+y)cos(x+y)(1-\frac{1}{co{s}^2(x+y)})$

  $=-2co{s}^3(x+y)cs{c}^2(x+y)$

• (4) $y=1+x{e}^y$

  $\frac{dy}{dx}=e^y+x{e}^y\frac{dy}{dx}$

  $\frac{dy}{dx}=\frac{e^y}{1-x{e}^y}=\frac{e^y}{2-y}$

  $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{e^y(2-y)\frac{dy}{dx}+e^y\frac{dy}{dx}}{(2-y{)}^2}$

  $=\frac{e^y(3-y)}{(2-y{)}^2}\cdot \frac{e^y}{2-y}$

  $=\frac{e^{2y}(3-y)}{(2-y{)}^3}$

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4. 用对数求导法求下列函数的导数：

• (1) $y=(\frac{x}{1+x}{)}^x$

  等号两边取对数得：

  $lny=xln\frac{x}{1+x}$

  $\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=ln\frac{x}{1+x}+x\cdot \frac{1+x}{x}\cdot \frac{1+x-x}{(1+x{)}^2}$

  $y^{\prime }=(ln\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x})\cdot (\frac{x}{1+x}{)}^x$

• (2) $y=\sqrt[5]{\frac{x-5}{\sqrt[5]{x^2+2}}}$

  $y=\frac{(x-5{)}^{\frac{1}{5}}}{(x^2+2{)}^{\frac{1}{25}}}$

  等号两边取对数，得：

  $lny=\frac{1}{5}ln(x-5)-\frac{1}{25}ln(x^2+2)$

  $\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{5(x-5)}-\frac{2x}{25(x^2+2)}=\frac{3x^2+10x+10}{25(x-5)(x^2+2)}$

  $y^{\prime }=\frac{3x^2+10x+10}{25(x-5)(x^2+2)}\cdot y$

  $=\frac{3x^2+10x+10}{25(x-5)(x^2+2)}\cdot \frac{(x-5{)}^{\frac{1}{5}}}{(x^{+}2{)}^{\frac{1}{25}}}$

  $=\frac{3x^2+10x+10}{25(x-5{)}^{\frac{4}{5}}(x^2+2{)}^{\frac{26}{25}}}$

• (3) $y=\frac{\sqrt{x+2}(3-x{)}^4}{(x+1{)}^5}$

  等号两边取对数得：

  $lny=\frac{1}{2}ln(x+2)+4ln(3-x)-5ln(x+1)$

  $\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{2(x+2)}+\frac{4}{x-3}-\frac{5}{x+1}$

  $y^{\prime }=[\frac{1}{2(x+2)}+\frac{4}{x-3}-\frac{5}{x+1}]\cdot \frac{\sqrt{x+2}(3-x{)}^4}{(x+1{)}^5}$

• (4) $y=\sqrt{xsinx\sqrt{1-e^x}}$

  $\because 1-e^x\ge 0$

  $\therefore x\le 0$

  $\because xsinx\ge 0$

  $\therefore sin\le 0$

  $\therefore lny=\frac{1}{2}[ln(-x)+ln(-sinx)+\frac{1}{2}ln(1-e^x)]$

  $\therefore y^{\prime }=[\frac{1}{2x}+\frac{cotx}{2}-\frac{e^x}{4(1-e^x)}]\cdot \sqrt{xsinx\sqrt{1-e^x}}$

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5. 求下列参数方程所确定的函数的导数 $\frac{dy}{dx}$:

   (1) $\{\begin{array}{l}x=a{t}^2\\ y=b{t}^3\end{array}$

   (2) $\{\begin{array}{l}x=\theta (1-sin\theta )\\ y=\theta cos\theta \end{array}$

• 解：

• (1)

  $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

  $=\frac{3b{t}^2}{2at}=\frac{3bt}{2a}$

• (2)

  $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta }}{\frac{dx}{d\theta }}$

  $=\frac{cos\theta -\theta sin\theta }{1-sin\theta +\theta cos\theta }$

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6. 已知 $\{\begin{array}{l}x=e^{t}sint\\ y=e^{t}cost\end{array}$ 求当 $t=\frac{\pi }{3}$ 时 $\frac{dy}{dx}$ 的值.

• 解：

  $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

  $=\frac{e^{t}cost-e^{t}sint}{e^{t}sint+e^{t}cost}$

  $=\frac{cost-sint}{sint+cost}$

  $\frac{dy}{dx}{|}_{t=\frac{\pi }{3}}=\frac{cos\frac{\pi }{3}-sin\frac{\pi }{3}}{sin\frac{\pi }{3}+cos\frac{\pi }{3}}$

  $=\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}}$

  $=\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$

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7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程：

   (1) $\{\begin{array}{l}x=sint\\ y=cos2t\end{array}$ 在 $t=\frac{\pi }{4}$ 处

   (2) $\{\begin{array}{l}x=\frac{3at}{1+t^2}\\ y=\frac{3a{t}^2}{1+t^2}\end{array}$ 在 $t=2$ 处.

• 解：

• (1)

  $t=\frac{\pi }{4}$ 时的点位坐标：$(\frac{\sqrt{2}}{2},0)$

  此处切线的斜率：$\frac{dy}{dx}{|}_{t=\frac{\pi }{4}}=\frac{-2sin2t}{cost}{|}_{t=\frac{\pi }{4}}=-2\sqrt{2}$

  此处法线的斜率：$\frac{-1}{-2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

  切线方程为：$y=-2\sqrt{2}(x-\frac{\sqrt{2}}{2})$

  法线方程为：$y=\frac{\sqrt{2}}{4}(x-\frac{\sqrt{2}}{2})$

• (2)

  $t=2$ 时的点位坐标 $(\frac{6a}{5},\frac{12a}{5})$

  $\frac{dx}{dt}=\frac{3a(1+t^2)-3at\cdot 2t}{(1+t^2{)}^2}=\frac{3a-3a{t}^2}{(1+t^2{)}^2}$

  $\frac{dy}{dt}=\frac{6at(1+t^2)-3a{t}^2\cdot 2t}{(1+t^2{)}^2}=\frac{6at}{(1+t^2{)}^2}$

  $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

  $=\frac{6at}{(1+t^2{)}^2}\cdot \frac{(1+t^2{)}^2}{3a-3a{t}^2}$

  $=\frac{2t}{1-t^2}$

  $t=2$ 时曲线切线的斜率为：$\frac{dy}{dx}{|}_{t=2}=\frac{2t}{1-t^2}{|}_{t=2}=-\frac{4}{3}$

  切线方程为：$y-\frac{12a}{5}=-\frac{4}{3}(x-\frac{6a}{5})$

  $t=2$ 时曲线法线的斜率为：$\frac{-1}{-\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

  法线方程为：$y-\frac{12}{5}=\frac{3}{4}(x-\frac{6a}{5})$

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8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$:

   (1) $\{\begin{array}{l}x=\frac{t^2}{2}\\ y=1-t\end{array}$

   (2) $\{\begin{array}{l}x=acost\\ y=bsint\end{array}$

   (3) $\{\begin{array}{l}x=3e^{-t}\\ y=2e^{-t}\end{array}$

   (4) $\{\begin{array}{l}x=f^{\prime }(t)\\ y=t{f}^{\prime }(t)-f(t)\end{array}$ 设 $f^{\prime \prime }(t)$ 存在且不为零

• 解：

• (1)

  $\frac{dx}{dt}=t$

  $\frac{dy}{dt}=-1$

  $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{t}$

  $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}$

  $=\frac{d(-\frac{1}{t})}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}$

  $=-\frac{1}{t^2}\cdot \frac{1}{t}=\frac{1}{t^3}$

• (2)

  $\frac{dx}{dt}=-asint$

  $\frac{dy}{dt}=bcost$

  $\frac{dy}{dx}=-\frac{bcost}{asint}$

  $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}$

  $=(-\frac{bcost}{asint}{)}^{\prime }\cdot \frac{1}{-asint}$

  $=\frac{-bsint\cdot asint-bcost\cdot acost}{a^{2}si{n}^{2}t}\cdot \frac{1}{asint}$

  $=\frac{-b}{a^{2}si{n}^{2}t}$

• (3)

  $\frac{dx}{dt}=-3e^{-t}$

  $\frac{dy}{dt}=2e^t$

  $\frac{dy}{dx}=\frac{2e^t}{-3e^{-t}}=-\frac{2}{3}{e}^{2t}$

  $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=(-\frac{2}{3}{e}^{2t}{)}^{\prime }\cdot \frac{1}{-3e^{-t}}$

  $=-\frac{2}{3}{e}^{2t}\cdot 2\cdot \frac{1}{-3e^{-t}}$

  $=\frac{4}{9}{e}^{3t}$

• (4)
  $\frac{dx}{dt}=f^{\prime \prime }(t)$
  $\frac{dy}{dt}=f^{\prime }(t)+t{f}^{\prime \prime }(t)-f^{\prime }(t)=t{f}^{\prime \prime }(t)$
  $\frac{dy}{dx}=\frac{t{f}^{\prime \prime }(t)}{f^{\prime \prime }(t)}=t$
  $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}$
  $=1\cdot \frac{1}{f^{\prime \prime }(t)}=\frac{1}{f^{\prime \prime }(t)}$

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9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数 $\frac{d^{3}y}{d{x}^3}$:
   (1) $\{\begin{array}{l}x=1-t^2\\ y=t-t^3\end{array}$
   (2) $\{\begin{array}{l}x=ln(1+t^2)\\ y=t-arctant\end{array}$

• 解：
• (1)
  $\frac{dx}{dt}=-2t$
  $\frac{dy}{dt}=1-3t^2$
  $\frac{dy}{dt}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1-3t^2}{-2t}=\frac{3t^2-1}{2t}$
  $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=(\frac{3t^2-1}{2t}{)}^{\prime }\cdot \frac{1}{-2t}=\frac{3t^2+1}{-4t^3}$
  $\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=\frac{d(\frac{d^{2}y}{d{x}^2})}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=(\frac{3t^2+1}{-4t^3}{)}^{\prime }\cdot \frac{1}{-2t}=-\frac{3(t^2+1)}{8t^5}$
• (2)
  $\frac{dx}{dt}=\frac{2t}{1+t^2}$
  $\frac{dy}{dt}=\frac{t^2}{1+t^2}$
  $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{t}{2}$
  $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=(\frac{t}{2}{)}^{\prime }\cdot \frac{1+t^2}{2t}=\frac{1+t^2}{4t}$
  $\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=\frac{d(\frac{d^{2}y}{d{x}^2})}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=(\frac{1+t^2}{4t}{)}^{\prime }\cdot \frac{1+t^2}{2t}=\frac{t^4-1}{8t^3}$

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10. 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大速度总是 $6m/s$，问在 $2s$ 末扰动水面面积增大的速率为多少？

• 解：
  圆的面积公式为：$s=\pi r^2$
  面积变化的速率为：$\frac{ds}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}$
  根据题意，$r=6\cdot 2=12(m)$，$\frac{dr}{dt}=6(m/s)$
  $\therefore 2s$ 末扰动水面面积增大的速率为 $2\cdot \pi \cdot 12\cdot 6=144\pi (m^2/s)$

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11. 注水入深 $8m$ 上顶直径 $8m$ 的正圆锥形容器中，其速率为 $4m^3/min$. 当水深为 $5m$ 时，其表面上升的速率为多少？

• 解：
  正圆锥容器中水的体的计算公式为：$v=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
  根据题意，水的上表面半径与水深的比值为：$\frac{r}{h}=\frac{4}{8}$
  可得：$r=\frac{h}{2}$
  水的体积计算公式变换为：$v=\frac{\pi h^3}{12}$
  对 $t$ 求导得：$\frac{dv}{dt}=\frac{\pi h^2}{4}\cdot \frac{dh}{dt}$
  根据题意，$\frac{dv}{dt}=4(m^3/min)$，$h=5(m)$
  可得：$\frac{dh}{dt}=\frac{16}{25\pi }(m/min)$

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12. 溶液自深 $18cm$ 顶直径 $12cm$ 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 $10cm$ 的圆柱形筒中.开始时漏洞中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为 $12cm$ 时，其表面下降的速率为 $1cm/min$. 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？

• 解：
  (1) 对于正圆锥形漏斗中的溶液：
  设 $v_1$ 表示体积，$r_1$ 表示上表面半径，$h_1$ 表示深度.
  根据相似关系，有：$\frac{r_1}{h_1}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，可得 $r_1=\frac{1}{3}{h}_1$.
  $\therefore v_1=\frac{1}{3}\pi r_1^{2}h=\frac{\pi h_1^3}{27}$
  溶液体积的变化速率为：$\frac{d{v}_1}{dt}=\frac{\pi h_1^2}{9}\cdot \frac{d{h}_1}{dt}$
  (2) 对于圆柱形筒中的溶液：
  设 $v_2$ 表示体积，$r_2$ 表示上表面半径，$$h_2$ 表示深度.
  有 $v_2=\pi r_2^2{h}_2=25\pi h_2$
  溶液体积变化速率为：$\frac{d{v}_2}{dt}=25\pi \frac{d{h}_2}{dt}$
  (3) 联合考虑
  $\because$ 两容器中溶液体积的变化率相等
  $\therefore \frac{\pi h_1^2}{9}\cdot \frac{d{h}_1}{dt}=25\pi \frac{d{h}_2}{dt}$
  带入题目给出的已知量，得： $\frac{12^2\pi }{9}\cdot 1=25\pi \frac{d{h}_2}{dt}$
  $\therefore \frac{d{h}_2}{dt}=\frac{16}{25}(cm/min)$

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• 学习资料
  1.《高等数学（第六版）》 上册，同济大学数学系 编

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