【数学】概率论与数理统计（六）

文章目录

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• 条件分布
• • 离散型随机变量的条件分布
  • • 示例
    • • 问题
      • 解答
  • 连续型随机变量的条件分布
  • • 示例1
    • • 问题
      • 解答
    • 示例2
    • • 问题
      • 解答
• 随机变量的独立性
• • 随机变量相互独立
  • • 示例
    • • 问题
      • 解答
  • 定理1
  • 定理2

条件分布

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离散型随机变量的条件分布

• 设$(X,Y)$是二维离散型随机向量，对于固定的$y_j$，若 P {   Y = y j   } > 0 P\set{Y = y_{j}} > 0 P{Y=yj​}>0，则称 P {   X = x i ∣ Y = y j   } = P {   X = x i , Y = y j   } P {   Y = y j   } = p i j p ⋅ j , i = 1 , 2 , ⋯ P\set{X = x_{i} | Y = y_{j}} = \frac{P\set{X = x_{i} , Y = y_{j}}}{P\set{Y = y_{j}}} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} , i = 1, 2, \cdots P{X=xi​∣Y=yj​}=P{Y=yj​}P{X=xi​,Y=yj​}​=p⋅j​pij​​,i=1,2,⋯为在 {   Y = y j   } \set{Y = y_{j}} {Y=yj​}的条件下，随机变量$X$的条件分布律，称函数 F ( x ∣ y j ) = P {   X ≤ x ∣ Y = y j   } , x ∈ R F(x | y_{j}) = P\set{X \leq x | Y = y_{j}} , x \in R F(x∣yj​)=P{X≤x∣Y=yj​},x∈R为在 {   Y = y j   } \set{Y = y_{j}} {Y=yj​}的条件下，随机变量$X$的条件分布函数

示例

问题

• 一射手进行射击，每次击中目标的概率为$p(0<p<1)$，且各次射击是相互独立的，射击进行到击中目标两次为止，以$X$表示首次击中目标所进行的射击次数，以$Y$表示总共进行的射击次数，试求$X$和$Y$的联合概率分布律及条件概率分布律

解答

• 设 {   Y = n   } \set{Y = n} {Y=n}表示在第$n$次射击时击中目标，且在前$n-1$次射击中有一次击中目标
• 已知各次射击是相互独立的，于是不论$m(m<n)$是多少，概率 P {   X = m , Y = n   } P\set{X = m , Y = n} P{X=m,Y=n}都应等于$p^2(1-p{)}^{n-2}$，由此得$X$和$Y$的联合概率分布律为

P {   X = m , Y = n   } = p 2 ( 1 − p ) n − 2 , n = 2 , 3 , ⋯   , m = 1 , 2 , ⋯   , n − 1 P\set{X = m , Y = n} = p^{2} (1 - p)^{n - 2} , n = 2, 3, \cdots , m = 1, 2, \cdots, n - 1 P{X=m,Y=n}=p2(1−p)n−2,n=2,3,⋯,m=1,2,⋯,n−1

P {   X = m   } = ∑ n = m + 1 ∞ P {   X = m , Y = n   } = ∑ n = m + 1 ∞ p 2 ( 1 − p ) n − 2 = p 2 ∑ n = m + 1 ∞ ( 1 − p ) n − 2 = p 2 ( 1 − p ) m − 1 p = p ( 1 − p ) m − 1 , m = 1 , 2 , ⋯ P\set{X = m} = \sum\limits_{n = m + 1}^{\infty}{P\set{X = m , Y = n}} = \sum\limits_{n = m + 1}^{\infty}{p^{2} (1 - p)^{n - 2}} = p^{2} \sum\limits_{n = m + 1}^{\infty}{(1 - p)^{n - 2}} = \frac{p^{2} (1 - p)^{m - 1}}{p} = p (1 - p)^{m - 1} , m = 1, 2, \cdots P{X=m}=n=m+1∑∞​P{X=m,Y=n}=n=m+1∑∞​p2(1−p)n−2=p2n=m+1∑∞​(1−p)n−2=pp2(1−p)m−1​=p(1−p)m−1,m=1,2,⋯

P {   Y = n   } = ∑ m = 1 n − 1 P {   X = m , Y = n   } = ∑ m = 1 n − 1 p 2 ( 1 − p ) n − 2 = ( n − 1 ) p 2 ( 1 − p ) n − 2 , n = 2 , 3 , ⋯ P\set{Y = n} = \sum\limits_{m = 1}^{n - 1}{P\set{X = m , Y = n}} = \sum\limits_{m = 1}^{n - 1}{p^{2} (1 - p)^{n - 2}} = (n - 1) p^{2} (1 - p)^{n - 2} , n = 2, 3, \cdots P{Y=n}=m=1∑n−1​P{X=m,Y=n}=m=1∑n−1​p2(1−p)n−2=(n−1)p2(1−p)n−2,n=2,3,⋯

• 当$n=2,3,\cdots$时， P {   X = m ∣ Y = n   } = p 2 ( 1 − p ) n − 2 ( n − 1 ) p 2 ( 1 − p ) n − 2 = 1 n − 1 , m = 1 , 2 , ⋯   , n − 1 P\set{X = m | Y = n} = \frac{p^{2} (1 - p)^{n - 2}}{(n - 1) p^{2} (1 - p)^{n - 2}} = \frac{1}{n - 1} , m = 1, 2, \cdots, n - 1 P{X=m∣Y=n}=(n−1)p2(1−p)n−2p2(1−p)n−2​=n−11​,m=1,2,⋯,n−1
• 当$m=1,2,\cdots$时， P {   Y = n ∣ X = m   } = p 2 ( 1 − p ) n − 2 p ( 1 − p ) m − 1 = p ( 1 − p ) n − m − 1 , n = m + 1 , m + 2 , ⋯ P\set{Y = n | X = m} = \frac{p^{2} (1 - p)^{n - 2}}{p (1 - p)^{m - 1}} = p (1 - p)^{n - m - 1} , n = m + 1, m + 2, \cdots P{Y=n∣X=m}=p(1−p)m−1p2(1−p)n−2​=p(1−p)n−m−1,n=m+1,m+2,⋯

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连续型随机变量的条件分布

• 设$(X,Y)$为二维连续型随机向量，$y$取定值，对于任意给定的实数 Δ y > 0 , P {   y < Y ≤ y + Δ y   } > 0 \Delta{y} > 0 , P\set{y < Y \leq y + \Delta{y}} > 0 Δy>0,P{y<Y≤y+Δy}>0，若极限 lim ⁡ Δ y → 0 + P {   X ≤ x ∣ y < Y ≤ y + Δ y   } \lim\limits_{\Delta{y} \rightarrow 0^{+}}{P\set{X \leq x | y < Y \leq y + \Delta {y}}} Δy→0+lim​P{X≤x∣y<Y≤y+Δy}存在，则称此极限值为在 {   Y = y   } \set{Y = y} {Y=y}的条件下，$X$的条件分布函数，记为$F(x|y)$
• 如果二维连续型随机向量$(X,Y)$的分布函数为$F(x,y)$，概率密度为$f(x,y)$，且$f(x,y)$在点$(x,y)$处连续，而$Y$的边缘概率密度$f_Y(y)>0$且连续，则

F ( x ∣ y ) = lim ⁡ Δ y → 0 + P {   X ≤ x ∣ y < Y ≤ y + Δ y   } = lim ⁡ Δ y → 0 + P {   X ≤ x , y < Y ≤ y + Δ y   } P {   y < Y ≤ y + Δ y   } = lim ⁡ Δ y → 0 + F ( x , y + Δ y ) − F ( x , y ) F Y ( y + Δ y ) − F Y ( y ) = lim ⁡ Δ y → 0 + F ( x , y + Δ y ) − F ( x , y ) Δ y lim ⁡ Δ y → 0 + F Y ( y + Δ y ) − F Y ( y ) Δ y = ∂ F ( x , y ) ∂ y d d y F Y ( y ) = ∫ − ∞ x f ( u , y ) d u f Y ( y ) \begin{aligned} F(x | y) &= \lim\limits_{\Delta{y} \rightarrow 0^{+}}{P\set{X \leq x | y < Y \leq y + \Delta{y}}} \\ &= \lim\limits_{\Delta{y} \rightarrow 0^{+}}{\cfrac{P\set{X \leq x , y < Y \leq y + \Delta{y}}}{P\set{y < Y \leq y + \Delta{y}}}} \\ &= \lim\limits_{\Delta{y} \rightarrow 0^{+}}{\cfrac{F(x, y + \Delta{y}) - F(x, y)}{F_{Y}(y + \Delta{y}) - F_{Y}(y)}} \\ &= \cfrac{\lim\limits_{\Delta{y} \rightarrow 0^{+}}{\cfrac{F(x, y + \Delta{y}) - F(x, y)}{\Delta{y}}}}{\lim\limits_{\Delta{y} \rightarrow 0^{+}}{\cfrac{F_{Y}(y + \Delta{y}) - F_{Y}(y)}{\Delta{y}}}} \\ &= \cfrac{\cfrac{\partial{F(x, y)}}{\partial{y}}}{\cfrac{d}{dy} F_{Y}(y)} \\ &= \cfrac{\int_{- \infty}^{x}{f(u, y) du}}{f_{Y}(y)} \end{aligned} F(x∣y)​=Δy→0+lim​P{X≤x∣y<Y≤y+Δy}=Δy→0+lim​P{y<Y≤y+Δy}P{X≤x,y<Y≤y+Δy}​=Δy→0+lim​FY​(y+Δy)−FY​(y)F(x,y+Δy)−F(x,y)​=Δy→0+lim​ΔyFY​(y+Δy)−FY​(y)​Δy→0+lim​ΔyF(x,y+Δy)−F(x,y)​​=dyd​FY​(y)∂y∂F(x,y)​​=fY​(y)∫−∞x​f(u,y)du​​

• 即在 {   Y = y   } \set{Y = y} {Y=y}的条件下，$X$的条件分布函数为$F(x|y)=\frac{{\int }_{-\infty }^{x}f(u,y)du}{f_Y(y)}={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$
• 若令$f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$，则$F(x|y)={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du={\int }_{-\infty }^{x}f(u|y)du$，称$f(x|y)$为在 {   Y = y   } \set{Y = y} {Y=y}的条件下，$X$的条件概率密度

示例1

问题

• 设$(X,Y)$服从区域 D = {   ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ≤ R 2 , R > 0   } D = \set{(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq R^{2} , R > 0} D={(x,y)∣x2+y2≤R2,R>0}上的均匀分布，求$f(y|x)$及$f(x|y)$

解答

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi R^2},& (x,y)\in D\\ 0,& (x,y)\notin D\end{array}$$

$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2},& |x|\le R\\ 0,& |x|>R\end{array}$$

• 故当$y\in (-R,R)$时，有

$$f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\sqrt{R^2-x^2}},& |x|\le \sqrt{R^2-y^2}\\ 0,& 其他\end{array}$$

• 可以看出，在 {   Y = y   } \set{Y = y} {Y=y}的条件下，$X$在区间$[-\sqrt{R^2-y^2},\sqrt{R^2-y^2}]$上服从均匀分布

示例2

问题

• 设随机变量$X$的分布密度为

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{\lambda }^{2}x{e}^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$

• 而随机变量$Y$在区间$(0,X)$上服从均匀分布，求$Y$的概率密度$f_Y(y)$

解答

$$f_Y(y|X=x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& y\in (0,x)\\ 0,& y\notin (0,x)\end{array}$$

$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y|X=x)=\{\begin{array}{ll}{\lambda }^2{e}^{-\lambda x},& 0<y<x\\ 0,& 其他\end{array}$$

$$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx=\{\begin{array}{ll}{\int }_y^{+\infty }{\lambda }^2{e}^{-\lambda x}dx,& y>0\\ 0,& y\le 0\end{array}=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda y},& y>0\\ 0,& y\le 0\end{array}$$

• 即随机变量$Y$服从参数为$\lambda$的指数分布

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随机变量的独立性

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随机变量相互独立

• 设二维随机向量$(X,Y)$的分布函数和边缘分布函数分别为$F(x,y)$，$F_X(x)$，$F_Y(y)$，若对于任意的实数$x$，$y$有 P {   X ≤ x , Y ≤ y   } = P {   X ≤ x   } ⋅ P {   Y ≤ y   } P\set{X \leq x , Y \leq y} = P\set{X \leq x} \cdot P\set{Y \leq y} P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y}，$F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$，则称随机变量$X$与$Y$相互独立

• 设二维离散型随机向量$(X,Y)$的分布律为 P {   X = x i , Y = y j   } = p i j ( i , j = 1 , 2 , ⋯   ) P\set{X = x_{i} , Y = y_{j}} = p_{ij} (i, j = 1, 2, \cdots) P{X=xi​,Y=yj​}=pij​(i,j=1,2,⋯)，关于$X$，$Y$的边缘分布律分别为 P {   X = x i   } = p i ⋅ P\set{X = x_{i}} = p_{i \cdot} P{X=xi​}=pi⋅​和 P {   Y = y j   } = p ⋅ j P\set{Y = y_{j}} = p_{\cdot j} P{Y=yj​}=p⋅j​，则$X$和$Y$相互独立的充分必要条件是：对任意的$i,j=1,2,\cdots$，有 P {   X = x i , Y = y j   } = P {   X = x i   } ⋅ P {   Y = y j   } P\set{X = x_{i} , Y = y_{j}} = P\set{X = x_{i}} \cdot P\set{Y = y_{j}} P{X=xi​,Y=yj​}=P{X=xi​}⋅P{Y=yj​}，即$p_{ij}=p_{i\cdot }\cdot p_{\cdot j}$

• 设二维连续型随机向量$(X,Y)$的概率密度及边缘概率密度分别为$f(x,y)$，$f_X(x)$，$f_Y(y)$，则$X$与$Y$相互独立的充要条件是：对于$f(x,y)$，$f_X(x)$，$f_Y(y)$均连续的点$(x,y)$，有$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$

示例

问题

• 设二维随机向量$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$，试证明：$X$与$Y$相互独立的充分必要条件是$\rho =0$

解答

• $f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}(-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty )$

• $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{e}^{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}},-\infty <x<+\infty$

• $f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}{e}^{-\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2}},-\infty <y<+\infty$

• 先证必要性：若$X$与$Y$相互独立，则对于任意的实数$x$，$y$，有$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$

• 取$x={\mu }_1$，$y={\mu }_2$，则有$\frac{1}{\sqrt{1-{\rho }^2}}=1$，从而$\rho =0$

• 再证充分性：若$\rho =0$，则对于任意的实数$x$，$y$，必有$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$

• 因此随机变量$X$与$Y$相互独立

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定理1

• 设随机变量$X$与$Y$相互独立，又$g(x)$与$h(y)$是连续函数，则随机变量$g(X)$与$h(Y)$相互独立

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定理2

• 设$(X_1,X_2,\cdots ,X_m)$和$(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n)$相互独立，则$X_i(i=1,2,\cdots ,m)$和$Y_j(j=1,2,\cdots ,n)$相互独立，又若$g$，$h$是连续函数，则$g(X_1,X_2,\cdots ,X_m)$与$h(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n)$相互独立

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原文地址：https://blog.csdn.net/from__2025_01_01/article/details/145076612

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