数学二常用公式（高等数学+线性代数）

高等数学

第一章 函数、极限和连续

• 常用公式：
  • 极限性质：${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ 表示当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 趋近于 $L$。
  • 无穷小量：$o(1)$ 表示比 $1$ 高阶的无穷小量。
  • 连续性：$f(x)$ 在 $x=a$ 连续 $\iff {\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$。

第二章 一元函数微分学

• 常用公式：
  • 导数定义：$f^{\prime }(a)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
  • 四则运算法则：$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$，$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$，${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$。
  • 链式法则：$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$。
  • 微分中值定理：$\exists c\in (a,b),\text{ such that }{f}^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
  • 洛必达法则：${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$（对于不确定形式 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$）。

第三章 一元函数积分学

• 常用公式：
  • 不定积分：$\int f(x)dx=F(x)+C$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
  • 定积分：${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。
  • 微积分基本定理：${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
  • 换元积分法：$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$，其中 $u=g(x)$。
  • 分部积分法：$\int udv=uv-\int vdu$。

第四章 多元函数微分学

• 常用公式：
  • 偏导数：$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}$，$f_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$。
  • 全微分：$df=f_{x}dx+f_{y}dy$。
  • 多元函数的链式法则：$(f(g(x,y)){)}^{\prime }=f_x{g}_x+f_y{g}_y$。
  • 梯度：$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$。

第五章 多元函数积分学

• 常用公式：
  • 二重积分：${\iint }_{D}f(x,y)dA={\int }_{x_1}^{x_2}{\int }_{y_1}^{y_2}f(x,y)dydx$。
  • 三重积分：${\iiint }_{V}f(x,y,z)dV={\int }_{z_1}^{z_2}{\int }_{y_1}^{y_2}{\int }_{x_1}^{x_2}f(x,y,z)dxdydz$。
  • 格林公式：${\oint }_C(Ldx+Mdy)={\iint }_D\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)dA$。
  • 高斯公式（散度定理）：${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}={\iiint }_V\nabla \cdot \mathbf{F}dV$。

第六章 常微分方程

• 常用公式：
  • 一阶微分方程：$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$。
  • 齐次方程：$y^{\prime }=f(y/x)$。
  • 线性微分方程的通解：$y=e^{\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}dx+C\right)$。
  • 伯努利方程：$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$，转化为线性方程后求解。
  • 常系数齐次线性微分方程：$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$，解为 $y=e^{r_{1}x},e^{r_{2}x}$，其中 $r_1,r_2$ 是特征方程的根。

线性代数

线性代数篇章涉及的知识内容及常用公式

第一章 行列式

• 行列式的定义：

  • 二阶行列式：$\det (A)=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$
  • 三阶行列式：$\det (A)=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$

• 行列式的性质：

  • 转置行列式：$\det (A^T)=\det (A)$
  • 行列式乘积：$\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$

• 行列式的计算：

  • 按行（列）展开：$\det (A)={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{C}_{ij}$，其中$C_{ij}$是余子式。

第二章 矩阵

• 矩阵的定义以及常见的特殊矩阵：

  • 单位矩阵：$I_n$
  • 对角矩阵：$diag(a_1,a_2,\dots ,a_n)$
  • 三角矩阵：$L$（下三角）或$U$（上三角）

• 矩阵的运算：

  • 矩阵加法：$A+B$
  • 矩阵乘法：$AB$
  • 矩阵幂：$A^k$
  • 矩阵转置：$A^T$

• 矩阵的逆：

  • 逆矩阵：$A^{-1}$，满足$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$

• 矩阵的秩：

  • 矩阵的秩：$\text{rank}(A)$

第三章 向量

• 向量组及其线性相关性：

  • 线性组合：$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n=0$
  • 线性无关：向量组中不存在非平凡的线性组合等于零向量。

• 向量组的极大线性无关组与秩：

  • 向量组的秩： rank ( { v 1 , v 2 , … , v n } ) \text{rank}(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}) rank({v1​,v2​,…,vn​})

• 向量空间：

  • 基： { e 1 , e 2 , … , e n } \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\} {e1​,e2​,…,en​}
  • 维数：$\text{dim}(V)$

• n 维欧几里得空间：

  • 内积：$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$
  • 范数：$\Vert \mathbf{u}\Vert$

第四章 线性方程组

• 线性方程组的表示及相关概念：

  • 齐次线性方程组：$A\mathbf{x}=0$
  • 非齐次线性方程组：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

• 线性方程组的解：

  • 解的存在性：$\text{det}(A)\ne 0$时，方程组有唯一解。

第五章 矩阵的相似化简

• 特征值与特征向量：

  • 特征值：$\lambda$满足$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$
  • 特征向量：$\mathbf{v}$对应于特征值$\lambda$

• 相似矩阵：

  • 相似矩阵：$A$和$B$相似，如果存在可逆矩阵$P$使得$A=PB{P}^{-1}$

• 矩阵的相似对角化：

  • 对角化：$A$可对角化，如果存在$P$使得$P^{-1}AP=D$，其中$D$是对角矩阵。

第六章 二次型

• 二次型及其矩阵表示：

  • 二次型：$Q(x)=x^{T}Ax$
  • 矩阵表示：$A$是对称矩阵

• 可逆线性变换：

  • 可逆变换：$P$可逆，如果$\det (P)\ne 0$

• 二次型的标准形：

  • 标准形：$Q(x)={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i^2$

• 正定二次型：

  • 正定：$Q(x)>0$对所有非零$x$

原文地址：https://blog.csdn.net/Tonque/article/details/144268893

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