853 有边数限制的最短路(bellman-ford贝尔曼福特算法)

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，输出 impossible。

注意：图中可能 存在负权回路 。

输入格式

第一行包含三个整数 n,m,k。

接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

点的编号为 1∼n。

输出格式

输出一个整数，表示从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。

数据范围

1≤n,k≤500,
1≤m≤10000,
1≤x,y≤n，
任意边长的绝对值不超过 10000。

输入样例：

3 3 1
1 2 1
2 3 1
1 3 3

输出样例：

3

题解

我们先来看原始算法

for v-1次
for 每条边
对这条边松弛
for 每条边
if v.d > u.d + w(u,v) // 如果v-1次后这条边还可以松弛，则代表存在负权环路
ruturn FALSE
return TRUE

不串联

串联：在一次对所有边进行松弛操作的过程中，由于其他边的松弛而影响本条边的松弛结果。就是第二行for 每条边 时，上次边的松弛影响了下次对边的松弛

不串联就是保存上次for v-1次 的结果，在for 每条边内层循环时，使用上次for v-1次 的结果进行松弛，每次只扩展一层最短路

算法本身允许串联，串联的话一次循环可能连带确定多层最短路，不串联只能确定一层最短路。然后在一个循环中如果没有发生松弛，就代表都是最短路了算法提前结束。只不过这道题限制了k，使得只能从源点一次扩展一层，也就是不串联，需要建一个数组backup[N]保存上次外循环的结果

无穷变小
代表无穷的数可能被负环松弛变小

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>

using namespace std;

const int N = 510, M = 10010;

int n, m, k;
int dist[N], backup[N];

struct Edge{
    int u, v, w;
} edges[M];

int bellman_ford(){
    memset(backup, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < k; i++){
        memcpy(backup, dist, sizeof dist);
        for (int j = 0; j < m; j++){
            int u = edges[j].u, v = edges[j].v, w = edges[j].w;
            // 使用backup更新，不串联
            dist[v] = min(dist[v], backup[u] + w);
        }
    }
    // 负环
    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}

int main(){
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 0; i < m; i++){
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        edges[i] = {u, v, w};
    }
    int t = bellman_ford();
    if (t == -1) cout << "impossible" << endl;
    else cout << t << endl;
}

ref
acwing 算法基础课 第三章 搜索与图论（二）

原文地址：https://blog.csdn.net/u014680146/article/details/144141112

免责声明：本站文章内容转载自网络资源，如本站内容侵犯了原著者的合法权益，可联系本站删除。更多内容请关注自学内容网（zxcms.com）！