算法专题(三)：二分查找
本篇还是像之前一样，以举例子的形式向大家讲解！每道题的题目均是传送门！点击跳转对应题！
目录
一、二分查找
1.1 题目
1.2 思路
暴力解法就是，从左向右依次遍历，直到找到target，返回其下标
1. 定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。
2. 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：
i. arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
ii. arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是大于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid -1 ，然后重复 2 过程；
iii. arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是小于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid +1 ，然后重复 2 过程；
3. 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。
1.3 代码实现
直接 mid = (left + right)/2; left+right 是有可能溢出的，所以我们改用让left向右移动一半的距离
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while(left <= right)
{
int mid = left + (right - left)/2; // 防溢出
if(nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1;
else return mid;
}
return -1;
}
};
总结（模版）
朴素版：
while(left <= right)
{
int mid = left + (right - left)/2;
if(...)
left = mid + 1;
else if (...)
right = mid - 1;
else
return ...;
}
二、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
2.1 题目
2.2 思路
为了方便叙述，下面我用 x 表示该元素， resLeft 表示左边界， resRight 表示右边界。
•寻找左边界：
我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：
▪ 左边区间 [left, resLeft - 1] 都是小于 x 的；
▪ 右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是大于等于 x 的；
• 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况：
当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] <target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
当 mid 落在 [resLeft， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；
注意：这里找中间元素需要向下取整。
因为后续移动左右指针的时候：
• 左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩小的；
• 右指针： right = mid ，可能会原地踏步（比如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1 ， right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷入死循环）。
因此一定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。
寻右左边界：
◦ 用 resRight 表示右边界；
◦ 我们注意到右边界的特点：
▪ 左边区间 （包括右边界） [left, resRight] 都是小于等于 x 的；
▪ 右边区间 [resRight+ 1, right] 都是大于 x 的；
• 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况：
◦ 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1]（ mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果） 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid的位置； ◦ 当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；
• 由此，就可以通过二分，来快速寻找右边界；
注意：这里找中间元素需要向上取整。
因为后续移动左右指针的时候：
• 左指针： left = mid ，可能会原地踏步（比如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1， right == 2，mid == 1 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷入死环）。
• 右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩小的；
因此一定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。
2.3 代码实现
class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target)
{
if(nums.size() == 0)
return {-1,-1};
int begin = 0;
//二分左端点
int left = 0,right = nums.size()-1;
while(left < right)
{
int mid = left+(right-left)/2;
if(target > nums[mid])
left = mid+1;
else
right = mid;
}
if(target != nums[left]) //判断是否有结果
return {-1,-1};
else
begin = left; //标记下一处端点
right = nums.size()-1;
//二分右端点
while(left<right)
{
int mid = left +(right-left+1)/2;
if(target >= nums[mid])
left = mid;
else
right = mid-1;
}
return {begin,right};
}
};
总结（模版）
请大家一定不要觉得背下模板就能解决所有二分问题（不要死记模版）。二分问题最重要的就是要分析题意，然后确定要搜索的区间，根据分析问题来写出二分查找算法的代码。
1. 关于什么时候用三段式，还是二段式中的某一个，一定不要强行去用，而是通过具体的问题分析情况，根据查找区间的变化确定指针的转移过程，从而选择一个模板。
2. 当选择两段式的模板时：
在求 mid 的时候，只有 right - 1 的情况下，才会向上取整（也就是 +1 取中间数）
三、搜索插入位置
3.1 题目
3.2 思路
1. 分析插入位置左右两侧区间上元素的特点：
设插入位置的坐标为 index ，根据插入位置的特点可以知道：
• [left, index - 1] 内的所有元素均是小于 target 的；
• [index, right] 内的所有元素均是大于等于 target 的。
2. 设 left 为本轮查询的左边界， right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信息，分析下一轮查询的区间：
▪ 当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，mid 左边包括 mid 本身，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left,mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。
▪ 当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本身，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid+ 1, right] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。
3. 直到我们的查找区间的长度变为 1 ，也就是 left == right 的时候， left 或者right 所在的位置就是我们要找的结果。
3.3 代码实现
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0,right = nums.size()-1;
while(left < right)
{
int mid = left + (right-left)/2;
if(nums[mid] < target)
left = mid+1;
else
right = mid;
}
if(nums[left] < target)
return left+1;
return left;
}
};
四、x 的平方根
4.1 题目
4.2 思路
暴力解法：
依次枚举 [0, x] 之间的所有数 i ：（这里没有必要研究是否枚举到 x / 2 还是 x / 2 + 1 。因为我们找到结果之后直接就返回了，往后的情况就不会再判断。反而研究枚举区间，既耽误时间，又可能出错）
▪ 如果 i * i == x ，直接返回 x ；
▪ 如果 i * i > x ，说明之前的一个数是结果，返回 i - 1 。
由于 i * i 可能超过 int 的最大值，因此使用 long long 类型。
二分查找：
4.2 代码实现
暴力：
class Solution {
public:
int mySqrt(int x)
{
// 由于两个较大的数相乘可能会超过 int 最大范围
// 因此用 long long
long long i = 0;
for (i = 0; i <= x; i++)
{
// 如果两个数相乘正好等于 x，直接返回 i
if (i * i == x) return i;
// 如果第一次出现两个数相乘大于 x，说明结果是前一个数
if (i * i > x) return i - 1;
}
// 为了处理oj题需要控制所有路径都有返回值
return -1;
}
};二分查找：
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
if(x < 1) //处理边界
return 0;
int left = 1,right = x;
while(left < right)
{
long mid = left + (right-left+1)/2; // 防溢出
if(mid * mid <= x)
left = mid;
else
right = mid - 1;
}
return left;
}
};
五、山脉数组的峰顶索引
5.1 题目
5.2 思路
暴力枚举（时间：O(N)）：
峰顶的特点：比两侧的元素都要大。
因此，我们可以遍历数组内的每一个元素，找到某一个元素比两边的元素大即可。
二分查找：
1. 分析峰顶位置的数据特点，以及山峰两旁的数据的特点：
◦ 峰顶数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1] ；
◦ 峰顶左边的数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] < arr[i + 1] ，也就是呈现上升趋势；
◦ 峰顶右边数据的特点： arr[i] < arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1] ，也就是呈现下降趋势。
2. 因此，根据 mid 位置的信息，我们可以分为下面三种情况：
◦ 如果 mid 位置呈现上升趋势，说明我们接下来要在 [mid + 1, right] 区间继续搜索；
◦ 如果 mid 位置呈现下降趋势，说明我们接下来要在 [left, mid - 1] 区间搜索；
◦ 如果 mid 位置就是山峰，直接返回结果。
5.3 代码实现
暴力：
class Solution {
public:
int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr)
{
int n = arr.size();
// 遍历数组内每一个元素，直到找到峰顶
for (int i = 1; i < n - 1; i++)
// 峰顶满足的条件
if (arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1])
return i;
// 为了处理 oj 需要控制所有路径都有返回值
return -1;
}
};二分查找：
class Solution {
public:
int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr)
{ //第一个位置和最后一个位置不可能是结果
int left = 1,right = arr.size()-2;
while(left < right)
{
int mid = left + (right-left+1)/2;
if(arr[mid] > arr[mid-1]) left = mid;
else right = mid -1;
}
return left;
}
};
六、寻找峰值
6.1 题目
6.2 思路
寻找二段性：
任取一个点 i ，与下一个点 i + 1 ，会有如下两种情况：
• arr[i] > arr[i + 1] ：此时「左侧区域」一定会存在山峰（因为最左侧是负无穷），那么我们可以去左侧去寻找结果；
• arr[i] < arr[i + 1] ：此时「右侧区域」一定会存在山峰（因为最右侧是负无穷），那么我们可以去右侧去寻找结果。
当我们找到「二段性」的时候，就可以尝试用「二分查找」算法来解决问题。
6.3 代码实现
class Solution {
public:
int findPeakElement(vector<int>& nums)
{
int left = 0,right = nums.size()-1;
while(left < right)
{
int mid = left + (right-left)/2;
if(nums[mid] > nums[mid+1])
right = mid;
else
left = mid +1;
}
return left;
}
};
七、寻找旋转排序数组中的最小值
7.1 题目
7.2 思路
关于暴力查找，只需遍历一遍数组，这里不再赘述 ，时间复杂度：O(N)
其中 C 点就是我们要求的点。
二分的本质：找到一个判断标准，使得查找区间能够一分为二。
通过图像我们可以发现， [A，B] 区间内的点都是严格大于 D 点的值的， C 点的值是严格小于 D 点的值的。但是当 [C，D] 区间只有一个元素的时候， C 点的值是可能等于 D 点的值的。
因此，初始化左右两个指针 left ， right ：
然后根据 mid 的落点，我们可以这样划分下一次查询的区间：
▪ 当 mid 在 [A，B] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格大于 D 点的值，下一次查询区间在 [mid + 1，right] 上；
▪ 当 mid 在 [C，D] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格小于等于 D 点的值，下次查询区间在 [left，mid] 上。
当区间长度变成 1 的时候，就是我们要找的结果。
7.3 代码实现
class Solution {
public:
int findMin(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
int left = 0,right = n-1;
while(left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] > nums[n-1])
left = mid +1;
else
right = mid;
}
return nums[left];
}
};
八、点名（0～n-1 中缺失的数字）
8.1 题目
8.2 思路
关于这道题中，时间复杂度为 O(N) 的解法有很多种，比如哈希表，直接遍历查找，位运算，高斯求和公式。
这里就只讲解一个二分法，来解决这个问题。
在这个升序的数组中，我们发现：
▪ 在第一个缺失位置的左边，数组内的元素都是与数组的下标相等的；
▪ 在第一个缺失位置的右边，数组内的元素与数组下标是不相等的。
因此，我们可以利用这个「二段性」，来使用「二分查找」算法。
8.3 代码实现
class Solution {
public:
int takeAttendance(vector<int>& records)
{
int left = 0,right = records.size()-1;
while(left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if(records[mid] == mid)
left = mid +1;
else
right = mid;
}
if(records[left] == left)
return left+1;
else
return left;
}
};
本篇完，下篇见！大家一定要分析过程，不要死记模版！
原文地址：https://blog.csdn.net/uyeonashi/article/details/145288826
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