交流稳定工作点基于Taylor级数展开的增量线性化推导过程

对于一个非线性函数

$i=u+\frac{1}{3}{u}^3$

在稳态工作点$u_{a0}$下，函数$f(u)$的泰勒展开公式如下：

---

泰勒展开公式

泰勒展开公式为：
$$f(u)=f(u_{a0})+f^{\prime }(u_{a0})(u-u_{a0})+\frac{f^{\prime \prime }(u_{a0})}{2!}(u-u_{a0}{)}^2+\frac{f^{(3)}(u_{a0})}{3!}(u-u_{a0}{)}^3+\cdots$$

这里，$f(u)=u+\frac{1}{3}{u}^3$。

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计算导数

1. 原函数：
   $$f(u)=u+\frac{1}{3}{u}^3$$

2. 一阶导数：
   $$f^{\prime }(u)=1+u^2$$

3. 二阶导数：
   $$f^{\prime \prime }(u)=2u$$

4. 三阶导数：
   $$f^{(3)}(u)=2$$

5. 四阶及以上导数：
   $$f^{(4)}(u)=0$$

各项在$u=u_{a0}$处的值

1. 函数值：
   $$f(u_{a0})=u_{a0}+\frac{1}{3}{u}_{a0}^3$$

2. 一阶导数值：
   $$f^{\prime }(u_{a0})=1+u_{a0}^2$$

3. 二阶导数值：
   $$f^{\prime \prime }(u_{a0})=2u_{a0}$$

4. 三阶导数值：
   $$f^{(3)}(u_{a0})=2$$

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泰勒展开式

将上述结果代入泰勒展开公式：
$$f(u)=f(u_{a0})+f^{\prime }(u_{a0})(u-u_{a0})+\frac{f^{\prime \prime }(u_{a0})}{2!}(u-u_{a0}{)}^2+\frac{f^{(3)}(u_{a0})}{3!}(u-u_{a0}{)}^3$$

具体形式为：
$$f(u)=\left(u_{a0}+\frac{1}{3}{u}_{a0}^3\right)+\left(1+u_{a0}^2\right)(u-u_{a0})+\frac{1}{2}(2u_{a0})(u-u_{a0}{)}^2+\frac{1}{6}(2)(u-u_{a0}{)}^3$$

化简后为：
$$f(u)=u_{a0}+\frac{1}{3}{u}_{a0}^3+(1+u_{a0}^2)(u-u_{a0})+u_{a0}(u-u_{a0}{)}^2+\frac{1}{3}(u-u_{a0}{)}^3$$

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结果解释

• 第一项：$f(u_{a0})$，表示在稳态工作点的函数值；
• 第二项：线性项，反映输入$u$偏离稳态点的直接影响；
• 第三项：二次项，描述非线性特性；
• 第四项：三次项，进一步捕捉更高阶非线性效应。

正序激励

A相交流稳定工作点基于Taylor级数展开的增量线性化推导过程

假设$u=u_{\mathrm{a}0}+\Delta u_{\mathrm{a}}$

$$\{\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{a}0}=A_0\cos {\omega }_{0}t\\ \Delta u_{\mathrm{a}}=\Delta u_{\mathrm{f}}=\delta \cos 2\pi ft=\delta \cos \omega t\end{array}$$

对于非线性函数有：

$$i_{\mathrm{a}}=u_{\mathrm{a}}+\frac{1}{3}{u}_{\mathrm{a}}^3=A_0\cos \left({\omega }_{0}t\right)+\delta \cos (\omega t)+\frac{1}{3}{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t\right)+\delta \cos (\omega t)\right]}^3$$

按照Taylor级数展开公式：

$$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

$$i_{\mathrm{a}}=\left\{\begin{array}{l}\left[A_0\cos {\omega }_{0}t+\frac{1}{3}{\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)}^3\right]\\ +\left[1+{\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)}^2\right](\delta \cos \omega t)\\ +\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)(\delta \cos \omega t{)}^2+\frac{1}{3}(\delta \cos \omega t{)}^3\end{array}\right\}$$

增量$\Delta i_{\mathrm{a}}$为：

$$\Delta i_{\mathrm{a}}=\left[1+{\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)}^2\right](\delta \cos \omega t)$$

推导过程

展开括号：
$$\Delta i_{\mathrm{a}}=\delta \cos \omega t+{\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)}^2(\delta \cos \omega t)$$

第一项为$\delta \cos \omega t$，只需化简第二项${\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)}^2(\delta \cos \omega t)$。

---

第二项的化简：

平方项${\left(\cos {\omega }_{0}t\right)}^2$利用公式化简：
$${\cos }^2{\omega }_{0}t=\frac{1+\cos 2{\omega }_{0}t}{2}$$

因此：
$${\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)}^2=A_0^2\cdot \frac{1+\cos 2{\omega }_{0}t}{2}=\frac{A_0^2}{2}+\frac{A_0^2}{2}\cos 2{\omega }_{0}t$$

带回第二项：
$${\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)}^2(\delta \cos \omega t)=\left(\frac{A_0^2}{2}+\frac{A_0^2}{2}\cos 2{\omega }_{0}t\right)(\delta \cos \omega t)$$

分配展开：
$${\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)}^2(\delta \cos \omega t)=\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \omega t+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos 2{\omega }_{0}t\cos \omega t$$

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使用积化和差公式：

积化和差公式：
$$\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)+\cos (a-b)\right]$$

对于第二项：
$$\cos 2{\omega }_{0}t\cos \omega t=\frac{1}{2}\left[\cos \left((\omega +2{\omega }_0)t\right)+\cos \left((\omega -2{\omega }_0)t\right)\right]$$

因此：
$$\frac{A_0^2}{2}\delta \cos 2{\omega }_{0}t\cos \omega t=\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left((\omega +2{\omega }_0)t\right)+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left((\omega -2{\omega }_0)t\right)$$

---

合并结果：

将以上化简带回整体公式：
$$\Delta i_{\mathrm{a}}=\delta \cos \omega t+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \omega t+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left((\omega +2{\omega }_0)t\right)+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left((\omega -2{\omega }_0)t\right)$$

合并$\delta \cos \omega t$项：
$$\Delta i_{\mathrm{a}}=\left(1+\frac{A_0^2}{2}\right)\delta \cos \omega t+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left((\omega +2{\omega }_0)t\right)+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left((\omega -2{\omega }_0)t\right)$$

---

$\Delta i_{\mathrm{a}}$结果解释：

• 第一项：基波分量，频率为$\omega$；
• 第二项和第三项：调制分量，分别对应频率$\omega +2{\omega }_0$和$\omega -2{\omega }_0$。

B相交流稳定工作点基于Taylor级数展开的增量线性化推导过程

对于B相，有$u=u_{\mathrm{b}0}+\Delta u_{\mathrm{b}}$

$\{\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{b}0}=A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\\ \Delta u_{\mathrm{b}}=\delta \cos \left(2\pi ft-\frac{2\pi }{3}\right)=\delta \cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)\end{array}$

$i_{\mathrm{b}}=u_{\mathrm{b}}+\frac{1}{3}{u}_{\mathrm{b}}^3=\left\{\begin{array}{l}\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{1}{3}{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^3\right]\\ +\left[1+{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2\right](\delta \cos \omega t)\\ +\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right](\delta \cos \omega t{)}^2+\frac{1}{3}(\delta \cos \omega t{)}^3\end{array}\right\}$

增量$\Delta i_{\mathrm{b}}$为：

$\begin{array}{c}\Delta i_{\mathrm{b}}=\left[1+{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2\right](\delta \cos \omega t)\\ \Delta i_{\mathrm{b}}=\left\{\begin{array}{l}\left(1+\frac{A_0^2}{2}\right)\delta \cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)\\ +\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right]\\ +\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega +2{\omega }_0\right)t\end{array}\right\}\end{array}$

推导过程

第一项为基波分量 $\delta \cos \omega t$，我们专注于化简第二项。

我们从给定的表达式出发，来推导$\Delta i_{\mathrm{b}}$的展开式：

$$\Delta i_{\mathrm{b}}=\left[1+{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2\right]\delta \cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)$$

步骤 1：展开平方项

首先，考虑平方项${\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2$。展开得到：

$${\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2=A_0^2{\cos }^2\left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)$$

根据三角恒等式，${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$，将其代入上式：

$$A_0^2{\cos }^2\left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{A_0^2}{2}\left[1+\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)\right]$$

步骤 2：将展开式代入原式

现在，我们将展开后的平方项代入原始表达式中：

$$\Delta i_{\mathrm{b}}=\left[1+\frac{A_0^2}{2}\left[1+\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)\right]\right]\delta \cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)$$

这可以进一步整理为：

$$\Delta i_{\mathrm{b}}=\left[1+\frac{A_0^2}{2}+\frac{A_0^2}{2}\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)\right]\delta \cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)$$

步骤 3：分配乘法

接下来，将右边的项逐项展开：

$$\Delta i_{\mathrm{b}}=\delta \cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)$$

步骤 4：使用乘积公式

为了展开最后一项，我们需要使用三角函数的乘积公式：

$$\cos A\cos B=\frac{1}{2}\left[\cos (A-B)+\cos (A+B)\right]$$

将$\cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)$代入公式中，得到：

$$\cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left((\omega -2{\omega }_0)t-\frac{2\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}\right)+\cos \left((\omega +2{\omega }_0)t-\frac{2\pi }{3}-\frac{4\pi }{3}\right)\right]$$

简化得到：

$$\cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left((\omega -2{\omega }_0)t+\frac{2\pi }{3}\right)+\cos \left((\omega +2{\omega }_0)t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]$$

步骤 5：整理最终表达式

将上述结果代入到最终的展开式中，得到：

$$\Delta i_{\mathrm{b}}=\left(1+\frac{A_0^2}{2}\right)\delta \cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left((\omega -2{\omega }_0)t+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left((\omega +2{\omega }_0)t-\frac{2\pi }{3}\right)$$

C相交流稳定工作点基于Taylor级数展开的增量线性化推导过程

对于B相，有$u=u_{\mathrm{c}0}+\Delta u_{\mathrm{c}}$

$\{\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{c}0}=A_0\cos \left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)\\ \Delta u_{\mathrm{c}}=\delta \cos \left(2\pi ft+\frac{2\pi }{3}\right)=\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)\end{array}$

同理可推出：

$\Delta i_{\mathrm{c}}=\left[1+{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2\right]\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)$

通过化简可得：

$\Delta i_{\mathrm{c}}=\left\{\begin{array}{l}\left(1+\frac{A_0^2}{2}\right)\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)\\ +\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right]\\ +\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega +2{\omega }_0\right)t\end{array}\right\}$

化简过程如下：

步骤 1：展开平方项

首先，我们展开平方项 ${\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2$。得到：

$${\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2=A_0^2{\cos }^2\left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)$$

根据三角恒等式 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$，我们可以将其代入得到：

$$A_0^2{\cos }^2\left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{A_0^2}{2}\left[1+\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)\right]$$

步骤 2：将展开式代入原式

现在，将展开后的平方项代入原始表达式中：

$$\Delta i_{\mathrm{c}}=\left[1+\frac{A_0^2}{2}\left[1+\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)\right]\right]\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)$$

我们可以进一步简化为：

$$\Delta i_{\mathrm{c}}=\left[1+\frac{A_0^2}{2}+\frac{A_0^2}{2}\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)\right]\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)$$

步骤 3：分配乘法

接下来，我们将右边的每一项逐一展开：

$$\Delta i_{\mathrm{c}}=\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)$$

步骤 4：使用三角函数的乘积公式

为了展开最后一项，我们使用三角函数的乘积公式：

$$\cos A\cos B=\frac{1}{2}\left[\cos (A-B)+\cos (A+B)\right]$$

将 $\cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)$ 代入公式，得到：

$$\cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left((\omega -2{\omega }_0)t+\frac{2\pi }{3}-\frac{4\pi }{3}\right)+\cos \left((\omega +2{\omega }_0)t+\frac{2\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}\right)\right]$$

简化得到：

$$\cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left((\omega -2{\omega }_0)t-\frac{2\pi }{3}\right)+\cos \left((\omega +2{\omega }_0)t+\frac{2\pi }{3}\right)\right]$$

步骤 5：整理最终表达式

将展开式代入到之前的表达式中，得到：

$$\Delta i_{\mathrm{c}}=\left(1+\frac{A_0^2}{2}\right)\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left((\omega -2{\omega }_0)t-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left((\omega +2{\omega }_0)t+\frac{2\pi }{3}\right)$$

负序激励

A相交流稳定工作点基于Taylor级数展开的增量线性化推导过程

$$\{\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{a}0}=A_0\cos {\omega }_{0}t\\ \Delta u_{\mathrm{a}}=\Delta u_{f-2f_0}=\delta \cos 2\pi \left(f-2f_0\right)t=\delta \cos \left(\omega -2{\omega }_0\right)t\end{array}$$

同理根据Taylor级数展开得到对应非线性函数为：

$$i_{\mathrm{a}}=\left\{\begin{array}{l}\left[A_0\cos {\omega }_{0}t+\frac{1}{3}{\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)}^3\right]\\ +\left[1+{\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)}^2\right]\delta \cos \left(\omega -2{\omega }_0\right)t\\ +\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right){\left[\delta \cos \left(\omega -2{\omega }_0\right)t\right]}^2+\frac{1}{3}{\left[\delta \cos \left(\omega -2{\omega }_0\right)t\right]}^3\end{array}\right\}$$

$$\begin{array}{rl}& \Delta i_{\mathrm{a}}=\left[1+{\left(A_0\cos {\omega }_{0}t\right)}^2\right]\delta \cos \left(\omega -2{\omega }_0\right)t\\ & =\left(1+\frac{A_0^2}{2}\right)\delta \cos \left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega -4{\omega }_0\right)t+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \omega t\end{array}$$

B相交流稳定工作点基于Taylor级数展开的增量线性化推导过程

$$\{\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{b}0}=A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\\ \Delta u_{\mathrm{b}}=\delta \cos \left[2\pi \left(f-2f_0\right)t+2\pi /3\right]=\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right]\end{array}$$

同理根据Taylor级数展开得到对应非线性函数为：

$$i_{\mathrm{b}}=u_{\mathrm{b}}+\frac{1}{3}{u}_{\mathrm{b}}^3=\left\{\begin{array}{l}\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{1}{3}{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^3\right]\\ +{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2]\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right]\\ +\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]{\left\{\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right]\right\}}^2+\frac{1}{3}{\left\{\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right]\right\}}^3\end{array}\right\}$$

$$\Delta i_{\mathrm{b}}=\left[1+{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2\right]\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right]$$

步骤 1：展开平方项

首先，展开平方项 ${\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2$：

$${\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2=A_0^2{\cos }^2\left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)$$

利用三角恒等式 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}\left(1+\cos 2\theta \right)$，我们将其展开：

$$A_0^2{\cos }^2\left({\omega }_{0}t-\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{A_0^2}{2}\left(1+\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)\right)$$

步骤 2：将平方项代入原式

将展开后的平方项代入原始表达式：

$$\Delta i_{\mathrm{b}}=\left[1+\frac{A_0^2}{2}\left(1+\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)\right)\right]\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right)$$

展开并整理后得到：

$$\Delta i_{\mathrm{b}}=\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)$$

步骤 3：使用三角函数的乘积公式

为了展开最后一项，我们使用三角函数的乘积公式：

$$\cos A\cos B=\frac{1}{2}\left[\cos (A-B)+\cos (A+B)\right]$$

将 $\cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)$ 代入公式：

$$\cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left(\left(\omega -4{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}\right)+\cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}-\frac{4\pi }{3}\right)\right]$$

化简后得到：

$$\cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t-\frac{4\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left(\left(\omega -4{\omega }_0\right)t\right)+\cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]$$

步骤 4：整理最终结果

现在，将这一项代入原式，得到：

$$\Delta i_{\mathrm{b}}=\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega -4{\omega }_0\right)t+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)$$

最终整理为：

$$\Delta i_{\mathrm{b}}=\left(1+\frac{A_0^2}{2}\right)\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega -4{\omega }_0\right)t+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)$$

C相交流稳定工作点基于Taylor级数展开的增量线性化推导过程

对于C相，同理

$$\{\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{c}0}=A_0\cos \left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)\\ \Delta u_{\mathrm{c}}=\delta \cos \left[2\pi \left(f-2f_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right]=\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right]\end{array}$$

同理根据Taylor级数展开得到对应非线性函数为：

$$i_{\mathrm{c}}=u_{\mathrm{c}}+\frac{1}{3}{u}_{\mathrm{c}}^3=\left\{\begin{array}{l}\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{1}{3}{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^3\right]\\ +{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2]\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right]\\ +\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)\right]{\left\{\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right]\right\}}^2+\frac{1}{3}{\left\{\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right]\right\}}^3\end{array}\right\}$$

$$\Delta i_{\mathrm{c}}=\left[1+{\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2\right]\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right]$$

化简可得：

$$\Delta i_{\mathrm{c}}=\left\{\begin{array}{l}\left(1+\frac{A_0^2}{2}\right)\delta \cos \left[\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right]\\ +\frac{A_0^2\delta }{4}\cos \left(\omega -4{\omega }_0\right)t\\ +\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)\end{array}\right\}$$

推导过程如下：

步骤 1：展开平方项

首先，我们对平方项进行展开：

$${\left[A_0\cos \left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^2=A_0^2{\cos }^2\left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)$$

使用三角恒等式 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}\left(1+\cos 2\theta \right)$，我们可以进一步展开：

$$A_0^2{\cos }^2\left({\omega }_{0}t+\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{A_0^2}{2}\left(1+\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)\right)$$

步骤 2：将平方项代入原式

将展开后的平方项代入原始表达式：

$$\Delta i_{\mathrm{c}}=\left[1+\frac{A_0^2}{2}\left(1+\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)\right)\right]\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right)$$

展开并整理：

$$\Delta i_{\mathrm{c}}=\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)$$

步骤 3：展开最后一项

对于最后一项，使用三角函数的乘积公式：

$$\cos A\cos B=\frac{1}{2}\left[\cos (A-B)+\cos (A+B)\right]$$

将其应用到 $\cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)$ 中：

$$\cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right)\cos \left(2{\omega }_{0}t+\frac{4\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left(\left(\omega -4{\omega }_0\right)t\right)+\cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)\right]$$

步骤 4：整理最终结果

现在，我们将这一项代入原始表达式：

$$\Delta i_{\mathrm{c}}=\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{2}\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega -4{\omega }_0\right)t+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)$$

最终得到的结果是：

$$\Delta i_{\mathrm{c}}=\left(1+\frac{A_0^2}{2}\right)\delta \cos \left(\left(\omega -2{\omega }_0\right)t-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega -4{\omega }_0\right)t+\frac{A_0^2}{4}\delta \cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)$$

原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_44114030/article/details/144331578

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