三维测量与建模笔记 - 5.1 对极几何-基础矩阵-本质矩阵

叉积，点积回顾 

         两个向量的叉积运算会得到一个垂直于这两个向量的向量。如果两个向量点乘为0，则两个向量垂直。

对极几何理论知识 

        

        如上图，有左右两个成像平面，其光心分别为O何O',在三维世界空间中的一点P。将这三个点两两相连，形成一个平面POO'，这个平面叫做极平面。直线OO'叫做基线。直线OO'和两个平面相交于e和e'两点，这两个点叫做极点。极点和成像点相连的直线l和l`称为极线。从上述关系可以看出，P点在左平面上投影到了p点，它处于极线l上，在右平面上的投影点p'一定处于极线l'上。

        如上图，对于给定的左右成像平面，基线和极点是不变的，世界空间中不同的点对应着不同极平面，和两个成像平面相交出不同的极线。

        上图展示了一个极点超出了可视的画幅范围，但仍然在成像平面（无限延展）上的例子。这个例子中，左右两个成像平面存在一定夹角。两条不同的极线必定相交于极点，如果能在图像中提取到极线，则能找到极点。

        如果两个摄像头是平行的，左右两个成像平面如果处于同一水平面，则极点处于无穷远处。 

        现在假设我们需要对左右两幅图中的点进行匹配，该如何做呢？

        由之前的描述可以看出，根据极线约束，如果我们找到了极平面和成像平面相交的极线，那么在空间中的一点M，在左成像平面中的点是m，则在右成像平面中搜索时，只需要在右成像平面中的极线上进行搜索即可。 

        那么如何找到极线呢？这里就引入了基础矩阵的概念。

        回顾射影几何知识 

        H矩阵是一个单应矩阵，通过它可以找到m点在右平面的m'点。由于m'点在极线l'上，因此可以推到出l`的方程。 

        上面说的归一化的影像空间平面就是z为1的成像平面。下面我们来看E是如何推导的。

        这个关系的意思也很简单，两个向量方向一样，大小不同。

        左右两个相平面可以通过矩阵联系起来，因此有：

      上式左侧为0，是因为这两个向量做叉积，得到的是垂直于t和这两个向量的新向量。点乘一个和它垂直的向量，结果为0。

       上式右侧，可以通过叉积运算法则得到,其中t叉乘t为0。

        叉积的运算法则，可以参考以下链接：

叉积（向量积、外积）的运算法则及其与点积（数量积、内积）的混合运算-CSDN博客文章浏览阅读5.3w次，点赞37次，收藏110次。  设a, b, c为R3上的三个向量，λ, μ为两个标量，×表示两向量之间的向量积，·表示两向量之间的数量积。则：  1. 向量积的定义  a与b的向量积为一向量，记为a×b。记a与b之间的夹角为θ，则它的模与方向分别为：模：|a×b| = |a||b|sinθ方向：垂直于a与b所构成的平面，且满足右手法则2. 向量积的代数规则反交换律：a×b = -b×a。分配律：a×(b+c) = a×b+a×c。与标量乘法兼容：(λa)×b = a×(λb) = λ(a×b)。数乘结合律：_叉积https://blog.csdn.net/weixin_44120025/article/details/120399358        上式改写成叉积的反对称矩阵形式，有：

        将中间的t,R运算结果用E表示，E就是本质矩阵。

        从式子可以看出，本质矩阵将空间中的某个点M在左右两个归一化平面上的两个点联系起来了，E包含了两个平面的旋转和平移信息。回忆一下基础矩阵F的式子,基础矩阵将空间中的某个点M在左右两个实际成像平面上的两个点联系起来了。

        本质矩阵的性质有：

        F矩阵和E矩阵的对比和联系如下： 

        对于K1参数，也有。

        那么，如何求解出基础矩阵呢？

        

            从上面的等式可以看出，和标定类似，只要能拿到左右成像平面中的同名点的坐标，就能得到基础矩阵。如果拿到多个同名点对儿，则我们就能建立足够多的方程，解出F矩阵参数。

实际中应用的案例

         在实际应用中，假设我们要找到左图中绿色的点在右图的同名点，由于参数计算过程和实际噪声影响会引入误差，不能简单地就选取右侧图像中计算出的极线来做，要对极线上下一定范围内的区域内进行搜索。

原文地址：https://blog.csdn.net/vivo01/article/details/144067479

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