拓扑学：单纯形(simplex)

单纯形(simplex(simplexes或simplices))

1.  术语单纯形(simplex)的词源

    作为形容词，词义为“通过单一部分刻画的，”来自拉丁语“simplex”,词义为“single(单一的)，simple(简单的)，plain(朴实的)，unmixed(纯粹的)，uncompounded(非复合的)，” 字面意思是“one-fold (单一的；单纯的)”。

    在数学意义上的用法由Pieter Hendrik Schoute (注：荷兰数学家)在1902年引入，在其著作 << Mehrdimensionale Geometrie>>(多维几何)(德语)中，Schoute起初建议使用术语“Simplicissimum，” 但此后在下一页简写为“simplex” 。

2.  单纯形简述

    在几何学中，一个单纯形(复数：simplexes或simplices)是一个三角形(triangle)或四面体(tetrahedron)的概念向任意维度的推广。命名为单纯形是因为它表示任意已知维度中最简单的多面体(polytope)。例如：

一个0维单纯形(0-dimensional)是一个点，

一个1维单纯形(1-dimensional)是一条线段，

一个2维单纯形(2-dimensional)是一个三角形，

一个3维单纯形(3- dimensional)是一个多面体，

一个4单纯形(4- dimensional)是一个5点细胞体(5-cell)，

具本来说，一个 k维单纯形(k-simplex)就是一个k维(k-dimensional)多面体，即是其(k + 1)个顶点的凸包(convex hull)。更正式地讲，假设 (k + 1)个点  是仿射独立的(affinely independent), 其指的是 k 个向量   是线性无关的。则由它们确定的单纯形是点集

 。

一个正则单纯形或正规单纯形(a regular simplex)是一个单纯形，同时也是一个正则多面体(a regular polytope)。一个正则k维单纯形可基于一个(k - 1)维单纯形通过将一个新的顶点按共边长度连接至所有原顶点而获得。

一个标准单纯形(a standard simplex)或概率单纯形(probability simplex)是一个 (k - 1)维单纯形,其顶点是  中的 k 个单位向量。或者，换句说，可表示成

 。

在拓扑学和组合数学中，常通过“黏合(glue together)”单纯形来构成单纯复形(a simplicial complex)。

    几何单纯形和单纯复形不应与抽象单纯复形相混淆，在抽象单纯复形中，单纯形只是一个有限集，而复形则是在取子集的情况下封闭的此类集合族。

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