如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线
二次型曲线的定义
在二维欧氏平面上，一个二次型曲线是一个关于
x
,
y
x,y
x,y的二元二次多项式：
F
(
x
,
y
)
=
a
11
x
2
+
2
a
12
x
y
+
a
22
y
2
+
2
a
1
x
+
2
a
2
y
+
a
0
=
0
\begin{equation} F(x,y)=a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0 \end{equation}
F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a0=0
其中 a 11 , a 22 , a 12 a_{11},a_{22},a_{12} a11,a22,a12不全为零。
当交叉项系数 a 12 a_{12} a12为零时，我们可以通过化简将二元二次多项式写为形如 ( x + α ) 2 a 2 ± ( y + β ) 2 b 2 = ± 1 \displaystyle \frac{(x+\alpha)^2}{a^2}\pm \frac{(y+\beta)^2}{b^2}=\pm 1 a2(x+α)2±b2(y+β)2=±1或 ( y + β ) 2 = ± 2 p ( x + α ) \displaystyle (y+\beta)^2=\pm 2p(x+\alpha) (y+β)2=±2p(x+α)这样的方程，这样就能够一目了然地看出曲线的类型是椭圆型、双曲线型还是抛物型。然而当交叉项系数 a 12 a_{12} a12不等于零时，我们往往无法一眼看出曲线的类型。因此一个很自然的问题是，如何通过平面上的线性变换，将多项式的交叉项消去，最终得到一个简洁的形式。本文将介绍这个方法。
将二次型曲线写成矩阵形式
首先我们需要将
(
1
)
(1)
(1)式改写成矩阵的形式，方便后续用矩阵对其进行线性变换。将多项式的二次项部分改写为：
φ
(
x
,
y
)
=
a
11
x
2
+
2
a
12
x
y
+
a
22
y
2
=
(
x
,
y
)
(
a
11
a
12
a
12
a
22
)
(
x
y
)
=
ζ
T
Ω
ζ
\begin{equation} \varphi(x,y)=a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2=(x,y)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\boldsymbol{\zeta^\mathrm{T} \Omega \zeta} \end{equation}
φ(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2=(x,y)(a11a12a12a22)(xy)=ζTΩζ
其中 ζ = ( x , y ) T \boldsymbol{\zeta} = (x,y)^{\mathrm{T}} ζ=(x,y)T； Ω = ( a 11 a 12 a 12 a 22 ) \boldsymbol{\Omega}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix} Ω=(a11a12a12a22)是二次项 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)的系数矩阵。
同样也将
F
(
x
,
y
)
F(x,y)
F(x,y)改写成为矩阵的形式：
F
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
,
1
)
(
a
11
a
12
a
1
a
12
a
22
a
2
a
1
a
2
a
0
)
(
x
y
1
)
=
(
ζ
T
,
1
)
(
Ω
κ
κ
T
a
0
)
(
ζ
1
)
\begin{equation} F(x,y)=(x,y,1) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_1 \\ a_{12} & a_{22} & a_2 \\ a_1 & a_2 & a_0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}= (\boldsymbol{\zeta}^{\mathrm{T}},1)\begin{pmatrix} \boldsymbol{\Omega} & \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa}^{\mathrm{T}} & a_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\zeta} \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation}
F(x,y)=(x,y,1)
a11a12a1a12a22a2a1a2a0
xy1
=(ζT,1)(ΩκTκa0)(ζ1)
其中 κ = ( a 1 , a 2 ) T \boldsymbol{\kappa}=(a_1, a_2)^{\mathrm{T}} κ=(a1,a2)T； C = ( Ω κ κ T a 0 ) \boldsymbol{C}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\Omega} & \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa}^{\mathrm{T}} & a_0 \end{pmatrix} C=(ΩκTκa0)是多项式 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)的系数矩阵。至此，我们将 ( 1 ) (1) (1)式改写成为了矩阵乘法的形式：
a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = ( ζ T , 1 ) ( Ω κ κ T a 0 ) ( ζ 1 ) = 0 \begin{equation} a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=(\boldsymbol{\zeta}^{\mathrm{T}},1)\begin{pmatrix} \boldsymbol{\Omega} & \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa}^{\mathrm{T}} & a_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\zeta} \\ 1 \end{pmatrix}=0 \end{equation} a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a0=(ζT,1)(ΩκTκa0)(ζ1)=0
通过转轴将交叉项系数消去
接下来我们尝试通过转轴矩阵消去二次曲线的交叉项。设转轴矩阵为 T = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) \boldsymbol{T}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix} T=(cosθ−sinθsinθcosθ)，则右手直角坐标系的转轴变换公式为：
ζ = T ζ ′ \begin{equation} \boldsymbol{\zeta}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{\zeta'} \end{equation} ζ=Tζ′
其中 ζ ′ = ( x ′ , y ′ ) T \boldsymbol{\zeta'}=(x',y')^{\mathrm{T}} ζ′=(x′,y′)T。将 ( 5 ) (5) (5)式写成三维形式：
( ζ 1 ) = ( T 0 0 1 ) ( ζ ′ 1 ) \begin{equation} \begin{pmatrix}\boldsymbol{\zeta} \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \boldsymbol{T} & 0 \\ 0& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\zeta'} \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation} (ζ1)=(T001)(ζ′1)
将 ( 6 ) (6) (6)代入 ( 4 ) (4) (4)式，得到：
( ζ T , 1 ) ( Ω κ κ T a 0 ) ( ζ 1 ) = ( ζ ′ T , 1 ) ( T T 0 0 1 ) ( Ω κ κ T a 0 ) ( T 0 0 1 ) ( ζ ′ 1 ) = ( ζ ′ T , 1 ) ( T T Ω T T T κ κ T T a 0 ) ( ζ ′ 1 ) = 0 \begin{equation} \begin{align} (\boldsymbol{\zeta}^{\mathrm{T}},1)\begin{pmatrix} \boldsymbol{\Omega} & \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa}^{\mathrm{T}} & a_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\zeta} \\ 1 \end{pmatrix} &=(\boldsymbol{\zeta'}^{\mathrm{T}},1)\begin{pmatrix} \boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} & 0 \\ 0& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\Omega} & \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa}^{\mathrm{T}} & a_0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \boldsymbol{T} & 0 \\ 0& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\zeta'} \\ 1 \end{pmatrix} \nonumber \\ &=(\boldsymbol{\zeta'}^{\mathrm{T}},1) \begin{pmatrix} \boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{T} & \boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\kappa} \\ \boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{T} & a_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\zeta'} \\ 1 \end{pmatrix} =0\nonumber \\ \end{align} \end{equation} (ζT,1)(ΩκTκa0)(ζ1)=(ζ′T,1)(TT001)(ΩκTκa0)(T001)(ζ′1)=(ζ′T,1)(TTΩTκTTTTκa0)(ζ′1)=0
比较
(
4
)
(4)
(4)与
(
7
)
(7)
(7)，新的二次项系数矩阵变成了：
φ
(
x
′
,
y
′
)
=
(
a
11
′
a
12
′
a
12
′
a
22
′
)
=
T
T
Ω
T
\begin{equation} \varphi(x',y')=\begin{pmatrix} a_{11}' & a_{12}' \\ a_{12}' & a_{22}'\end{pmatrix}=\boldsymbol{T^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{T} \end{equation}
φ(x′,y′)=(a11′a12′a12′a22′)=TTΩT
由于 T \boldsymbol{T} T是正交矩阵，因此有 T T T = I \boldsymbol{T}\boldsymbol{T^{\mathrm{T}}}=\boldsymbol{I} TTT=I。将 ( 8 ) (8) (8)式同时左乘 T \boldsymbol{T} T，得到：
Ω T = T ( a 11 ′ a 12 ′ a 12 ′ a 22 ′ ) \begin{equation} \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{T}=\boldsymbol{T}\begin{pmatrix} a_{11}' & a_{12}' \\ a_{12}' & a_{22}'\end{pmatrix} \end{equation} ΩT=T(a11′a12′a12′a22′)
我们希望经过转轴后交叉项系数为0，即 a 12 ′ = 0 a_{12}'=0 a12′=0。将转轴矩阵写成列向量形式 T = ( τ 1 , τ 2 ) \boldsymbol{T}=(\boldsymbol{\tau_1}, \boldsymbol{\tau_2}) T=(τ1,τ2)，则 ( 9 ) (9) (9)式可以写为
Ω ( τ 1 , τ 2 ) = ( τ 1 , τ 2 ) ( a 11 ′ 0 0 a 22 ′ ) \begin{equation} \boldsymbol{\Omega}(\boldsymbol{\tau_1}, \boldsymbol{\tau_2})=(\boldsymbol{\tau_1}, \boldsymbol{\tau_2})\begin{pmatrix} a_{11}' & 0 \\0 & a_{22}'\end{pmatrix} \end{equation} Ω(τ1,τ2)=(τ1,τ2)(a11′00a22′)
展开后即得
Ω
τ
1
=
a
11
′
τ
1
,
Ω
τ
2
=
a
22
′
τ
2
\begin{equation} \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\tau_1}=a_{11}'\boldsymbol{\tau_1}, \boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\tau_2}=a_{22}'\boldsymbol{\tau_2} \end{equation}
Ωτ1=a11′τ1,Ωτ2=a22′τ2
由 ( 11 ) (11) (11)式我们发现，当通过转轴消去交叉项系数 a 12 a_{12} a12时，新方程的 x ′ 2 , y ′ 2 x'^2,y'^2 x′2,y′2项系数恰好是原二次项系数矩阵 Ω \boldsymbol{\Omega} Ω的特征值，转轴矩阵的两个列向量是分别是特征值对应的特征向量。设 Ω \boldsymbol{\Omega} Ω的特征值分别是 ω 1 , ω 2 \omega_1, \omega_2 ω1,ω2，则消去交叉项后，二次项部分可以写为：
ω 1 x ′ 2 + ω 2 x ′ y \begin{equation} \omega_1 x'^2+ \omega_2 x'^y \end{equation} ω1x′2+ω2x′y
再次比较 ( 4 ) (4) (4)与 ( 7 ) (7) (7)，新的一次项部分变成了
2 a 1 ′ x ′ + 2 a 2 ′ y ′ = 2 κ T T ζ ′ = 2 κ T ( τ 1 , τ 2 ) ( x ′ y ′ ) = 2 ( κ T τ 1 , κ T τ 2 ) ( x ′ y ′ ) = 2 κ T τ 1 x ′ + 2 κ T τ 2 y ′ \begin{equation} 2a'_1x'+2a'_2y' = 2\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{T}\boldsymbol{\zeta'} =2\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} (\boldsymbol{\tau_1}, \boldsymbol{\tau_2})\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=2(\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\tau_1},\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\tau_2})\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=2\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\tau_1}x'+2\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\tau_2}y' \end{equation} 2a1′x′+2a2′y′=2κTTζ′=2κT(τ1,τ2)(x′y′)=2(κTτ1,κTτ2)(x′y′)=2κTτ1x′+2κTτ2y′
综合 ( 12 ) , ( 13 ) (12),(13) (12),(13)式，我们最终得到了消除交叉项后的二次曲线方程：
a 11 ′ x ′ 2 + a 22 ′ y ′ 2 + 2 a 1 ′ x ′ + 2 a 2 ′ y ′ + a 0 = 0 \begin{equation} a'_{11} x'^2+ a'_{22} y'^2+2a'_1x'+2a'_2y'+a_0=0 \end{equation} a11′x′2+a22′y′2+2a1′x′+2a2′y′+a0=0
其中 a 11 ′ = ω 1 , a 22 ′ = ω 2 , a 1 ′ = κ T τ 1 , a 2 ′ = κ T τ 2 a'_{11}=\omega_1, a'_{22}=\omega_2,a'_1=\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\tau_1}, a'_2=\boldsymbol{\kappa ^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{\tau_2} a11′=ω1,a22′=ω2,a1′=κTτ1,a2′=κTτ2， ω 1 , τ 1 \omega_1, \boldsymbol{\tau_1} ω1,τ1与 ω 2 , τ 2 \omega_2, \boldsymbol{\tau_2} ω2,τ2是原二次项系数矩阵 Ω \boldsymbol{\Omega} Ω的特征值与特征向量。
通过移轴，进一步化简方程
根据系数符号不同，需要分以下集中情况讨论。
情况1：特征值 ω 1 , ω 2 \omega_1,\omega_2 ω1,ω2同号
此时得到的是椭圆型曲线。对 ( 14 ) (14) (14)式配方化简后得到
a 11 ′ ( x ′ + a 1 ′ a 11 ′ ) 2 + a 22 ′ ( y ′ + a 2 ′ a 22 ′ ) 2 + ( a 0 − a 1 ′ 2 a 11 ′ − a 2 ′ 2 a 22 ′ ) = 0 \displaystyle \begin{equation} a'_{11}(x'+\frac{a'_1}{ a'_{11}})^2+a'_{22}(y'+\frac{a'_2}{ a'_{22}})^2+(a_0-\frac{a'^2_1}{ a'_{11}}-\frac{a'^2_2}{ a'_{22}})=0 \end{equation} a11′(x′+a11′a1′)2+a22′(y′+a22′a2′)2+(a0−a11′a1′2−a22′a2′2)=0
对 ( 15 ) (15) (15)式进行移轴，令 x ′ ′ = x ′ + a 1 ′ a 11 ′ , y ′ ′ = y ′ + a 2 ′ a 22 ′ x''=x'+\dfrac{a'_1}{ a'_{11}},y''=y'+\dfrac{a'_2}{ a'_{22}} x′′=x′+a11′a1′,y′′=y′+a22′a2′，则上式可以写为：
a 11 ′ x ′ ′ 2 + a 22 ′ y ′ ′ 2 + c = 0 \displaystyle \begin{equation} a'_{11}x''^2+a'_{22}y''^2+c=0 \end{equation} a11′x′′2+a22′y′′2+c=0
其中 c = a 0 − a 1 ′ 2 a 11 ′ − a 2 ′ 2 a 22 ′ c=a_0-\dfrac{a'^2_1}{ a'_{11}}-\dfrac{a'^2_2}{ a'_{22}} c=a0−a11′a1′2−a22′a2′2。若 c ≠ 0 c\neq 0 c=0，将 c c c移至等号右侧，两边分别除以 − c -c −c得到：
x ′ ′ 2 − c / a 11 ′ + y ′ ′ 2 − c / a 22 ′ = 1 \displaystyle \begin{equation} \dfrac{x''^2}{-c/a'_{11}}+\dfrac{y''^2}{-c/a'_{22}}=1 \end{equation} −c/a11′x′′2+−c/a22′y′′2=1
此时若 c c c与 a 11 ′ a'_{11} a11′异号，则方程可以写为 x ′ ′ 2 ( − c / a 11 ′ ) 2 + y ′ ′ 2 ( − c / a 22 ′ ) 2 = 1 \dfrac{x''^2}{(\sqrt{-c/a'_{11}})^2}+\dfrac{y''^2}{(\sqrt{-c/a'_{22}})^2}=1 (−c/a11′)2x′′2+(−c/a22′)2y′′2=1，曲线是一个椭圆；若 c c c与 a 11 ′ a'_{11} a11′同号，则方程可以写为 x ′ ′ 2 ( c / a 11 ′ ) 2 + y ′ ′ 2 ( c / a 22 ′ ) 2 = − 1 \dfrac{x''^2}{(\sqrt{c/a'_{11}})^2}+\dfrac{y''^2}{(\sqrt{c/a'_{22}})^2}=-1 (c/a11′)2x′′2+(c/a22′)2y′′2=−1，曲线是一个虚椭圆（无轨迹）。若 c = 0 c=0 c=0，曲线退化为一个点，坐标为 ( − a 1 ′ a 11 ′ , − a 2 ′ a 22 ′ ) (-\dfrac{a'_1}{ a'_{11}},-\dfrac{a'_2}{ a'_{22}}) (−a11′a1′,−a22′a2′)，恰好是移轴后的新坐标原点。
此时我们已经通过一次转轴，一次移轴得到了 ( 16 ) (16) (16)式，因此总的坐标变换公式为：
( x y ) = T ( x ′ ′ − a 1 ′ a 11 ′ y ′ ′ − a 2 ′ a 22 ′ ) = ( τ 1 x ′ ′ − τ 1 a 1 ′ a 11 ′ τ 2 y ′ ′ − τ 2 a 2 ′ a 22 ′ ) = T ( x ′ ′ y ′ ′ ) − T ′ \displaystyle \begin{equation} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\boldsymbol{T}\begin{pmatrix} x''- \dfrac{a'_1}{ a'_{11}}\\ y''- \dfrac{a'_2}{ a'_{22}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\tau_1}x''-\boldsymbol{\tau_1} \dfrac{a'_1}{ a'_{11}}\\ \boldsymbol{\tau_2}y''-\boldsymbol{\tau_2} \dfrac{a'_2}{ a'_{22}} \end{pmatrix}=\boldsymbol{T}\begin{pmatrix} x'' \\ y ''\end{pmatrix}-\boldsymbol{T'} \end{equation} (xy)=T x′′−a11′a1′y′′−a22′a2′ = τ1x′′−τ1a11′a1′τ2y′′−τ2a22′a2′ =T(x′′y′′)−T′
其中 T = ( τ 1 , τ 2 ) \boldsymbol{T}=(\boldsymbol{\tau_1}, \boldsymbol{\tau_2}) T=(τ1,τ2)是转轴矩阵， T ′ = （ a 1 ′ a 11 ′ τ 1 , a 2 ′ a 22 ′ τ 2 ) T \boldsymbol{T'}=（ \dfrac{a'_1}{ a'_{11}}\boldsymbol{\tau_1} , \dfrac{a'_2}{ a'_{22}}\boldsymbol{\tau_2} )^{\mathrm{T}} T′=（a11′a1′τ1,a22′a2′τ2)T是移轴矩阵。
情况2：特征值 ω 1 , ω 2 \omega_1,\omega_2 ω1,ω2异号
此时得到的是双曲型曲线。用同样的方法对 ( 14 ) (14) (14)式移轴化简后得到
a 11 ′ x ′ ′ 2 + a 22 ′ y ′ ′ 2 + c = 0 \displaystyle \begin{equation} a'_{11}x''^2+a'_{22}y''^2+c=0 \end{equation} a11′x′′2+a22′y′′2+c=0
其中 c = a 0 − a 1 ′ 2 a 11 ′ − a 2 ′ 2 a 22 ′ c=a_0-\dfrac{a'^2_1}{ a'_{11}}-\dfrac{a'^2_2}{ a'_{22}} c=a0−a11′a1′2−a22′a2′2。根据 c c c不同分情况讨论，若 c c c与 a 11 ′ a'_{11} a11′异号，则方程可以写为 x ′ ′ 2 ( − c / a 11 ′ ) 2 − y ′ ′ 2 ( c / a 22 ′ ) 2 = 1 \dfrac{x''^2}{(\sqrt{-c/a'_{11}})^2}-\dfrac{y''^2}{(\sqrt{c/a'_{22}})^2}=1 (−c/a11′)2x′′2−(c/a22′)2y′′2=1，曲线是一个双曲线；若 c c c与 a 11 ′ a'_{11} a11′同号，则方程可以写为 y ′ ′ 2 ( − c / a 22 ′ ) 2 − x ′ ′ 2 ( c / a 11 ′ ) 2 = 1 \dfrac{y''^2}{(\sqrt{-c/a'_{22}})^2}-\dfrac{x''^2}{(\sqrt{c/a'_{11}})^2}=1 (−c/a22′)2y′′2−(c/a11′)2x′′2=1，曲线同样是一个双曲线。若 c = 0 c=0 c=0，此时曲线退化成为一对相交的直线。总的坐标变换公式仍然是 ( 18 ) (18) (18)式。
情况3：特征值 ω 1 , ω 2 \omega_1,\omega_2 ω1,ω2有且仅有一个为0
容易证得特征值不可能全为0，否则必有 a 11 = a 22 = 0 a_{11}=a_{22}=0 a11=a22=0，原方程不再是二次曲线。不妨设 ω 1 = a 11 = 0 \omega_1=a_{11}=0 ω1=a11=0，则 ( 14 ) (14) (14)可以改写为：
a 22 ′ ( y ′ + a 2 ′ a 22 ′ ) 2 + 2 a 1 ′ x ′ + c = 0 \begin{equation} a'_{22} (y' + \dfrac{a'_2}{a'_{22} })^2+2a'_1x'+c=0 \end{equation} a22′(y′+a22′a2′)2+2a1′x′+c=0
其中 c = a 0 − a 2 ′ 2 a 22 ′ c=a_0-\dfrac{a'^2_2}{a'_{22} } c=a0−a22′a2′2。
- 若 a 1 ′ ≠ 0 a'_{1}\neq 0 a1′=0，令 x ′ ′ = x ′ + a 0 a 22 ′ − a 2 ′ 2 2 a 1 ′ a 22 ′ , y ′ ′ = y ′ + a 2 ′ a 22 ′ x''=x'+\dfrac{a_{0}a'_{22}-a'^2_{2}}{2a'_{1}a'_{22}},y''=y'+\dfrac{a'_2}{ a'_{22}} x′′=x′+2a1′a22′a0a22′−a2′2,y′′=y′+a22′a2′，做移轴后的方程为：
y ′ ′ 2 = − 2 a 1 ′ a 22 ′ x ′ ′ \begin{equation} y''^2=\dfrac{-2a'_1}{a'_{22}}x'' \end{equation} y′′2=a22′−2a1′x′′
此时方程是一个抛物线方程，总的坐标变换公式为
( x y ) = T ( x ′ ′ − a 0 a 22 ′ − a 2 ′ 2 2 a 1 ′ a 22 ′ y ′ ′ − a 2 ′ a 22 ′ ) = T ( x ′ ′ y ′ ′ ) − ( a 0 a 22 ′ − a 2 ′ 2 2 a 1 ′ a 22 ′ τ 1 a 2 ′ a 22 ′ τ 2 ) \displaystyle \begin{equation} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\boldsymbol{T}\begin{pmatrix} x''-\dfrac{a_{0}a'_{22}-a'^2_{2}}{2a'_{1}a'_{22}}\\ y''- \dfrac{a'_2}{ a'_{22}}\end{pmatrix}=\boldsymbol{T}\begin{pmatrix} x'' \\ y ''\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \dfrac{a_{0}a'_{22}-a'^2_{2}}{2a'_{1}a'_{22}}\boldsymbol{\tau_1} \\ \dfrac{a'_2}{ a'_{22}} \boldsymbol{\tau_2}\end{pmatrix} \end{equation} (xy)=T x′′−2a1′a22′a0a22′−a2′2y′′−a22′a2′ =T(x′′y′′)− 2a1′a22′a0a22′−a2′2τ1a22′a2′τ2
- 若 a 1 ′ = 0 a'_{1}=0 a1′=0，令 x ′ ′ = x ′ , y ′ ′ = y ′ + a 2 ′ a 22 ′ x''=x', y''=y'+\dfrac{a'_2}{ a'_{22}} x′′=x′,y′′=y′+a22′a2′，做移轴后的方程为：
a 22 ′ y ′ ′ 2 + c = 0 \begin{equation} a'_{22}y''^2+c=0 \end{equation} a22′y′′2+c=0
若 c c c与 a 22 ′ a'_{22} a22′异号，则曲线是一对平行直线；若 c c c与 a 22 ′ a'_{22} a22′同号，曲线是一对虚直线（无轨迹）；若 c = 0 c=0 c=0，则曲线是一对与 x x x轴重合的直线。此时总的坐标变换公式为：
( x y ) = T ( x ′ ′ y ′ ′ − a 2 ′ a 22 ′ ) = T ( x ′ ′ y ′ ′ ) − ( 0 a 2 ′ a 22 ′ τ 2 ) \displaystyle \begin{equation} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\boldsymbol{T}\begin{pmatrix} x''\\ y''- \dfrac{a'_2}{ a'_{22}}\end{pmatrix}=\boldsymbol{T}\begin{pmatrix} x'' \\ y ''\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ \dfrac{a'_2}{ a'_{22}} \boldsymbol{\tau_2}\end{pmatrix} \end{equation} (xy)=T x′′y′′−a22′a2′ =T(x′′y′′)− 0a22′a2′τ2
总结
上文证明了，通过转轴矩阵和移轴矩阵，根据二次项系数特征值的不同，任意二次曲线都可以化简为三个大类，分别是椭圆型曲线、双曲型曲线以及抛物型曲线。其中椭圆形曲线可能对应椭圆、虚椭圆、一个点三种情况；双曲型曲线可能对应双曲线、一对交叉直线两种情况；抛物型曲线可能对应抛物线、一对平行直线、一对虚平行直线、一对重合直线四种情况。共计九种情形。
原文地址：https://blog.csdn.net/Derekqiao1986/article/details/144644101
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