数据结构 （8）线性表的应用——一元多项式的表示及应用
一、一元多项式的定义
一元多项式是代数学研究的基本对象之一，可以表示为：
P_n(x) = p_0 + p_1x + p_2xn
其中，p_0, p_1, ..., p_n 是数域 F 中的数，n 是非负整数，x 是变量。
二、一元多项式的线性表表示
在计算机中，为了节省存储空间和提高运算效率，通常会采用线性表来表示一元多项式。根据多项式的特点，线性表可以采用以下两种方式进行优化：
稀疏表示法：
- 当多项式中很多项的系数为0时，采用稀疏表示法可以节省存储空间。
- 具体实现方式：只存储非零项的系数和指数，形成一个（系数，指数）对的线性表。
- 例如，多项式 S(x) = 1 + 3x20000 可以表示为（(1,0), (3,10000), (-2,20000)）。
顺序存储和链式存储：
- 顺序存储：将多项式的各项系数和指数按顺序存储在一个数组中，但这种方法在多项式项数较多且大部分系数不为0时效率较低。
- 链式存储（链表）：使用链表来存储多项式的各项，每个节点包含一个（系数，指数）对，以及指向下一个节点的指针。这种方法在多项式项数不确定或需要频繁插入、删除操作时更为高效。
三、一元多项式的应用
多项式相加：
- 给定两个一元多项式，将它们相加得到一个新的多项式。
- 实现方法：遍历两个多项式的各项，按照指数大小进行合并，相同指数的项系数相加，不同指数的项则保留在新多项式中。
多项式相乘：
- 给定两个一元多项式，将它们相乘得到一个新的多项式。
- 实现方法：使用分配律进行相乘，即第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，然后合并同类项。
多项式求值：
- 给定一个一元多项式和一个具体的x值，计算多项式的值。
- 实现方法：遍历多项式的各项，按照指数和系数进行计算，最后得到多项式的值。
多项式的导数：
- 计算一元多项式的导数。
- 实现方法：根据导数的定义和多项式的各项系数及指数进行计算。
四、示例
假设有两个一元多项式 P(x) = 7x^3 - 2x^12 - 8x^999 和 Q(x) = 3x^2 + 5x^5。
多项式相加：
- P(x) + Q(x) = (7x^3 - 2x^12 - 8x^999) + (3x^2 + 5x^5)
- 结果为：7x^3 + 3x^2 + 5x^5 - 2x^12 - 8x^999
多项式相乘：
- P(x) * Q(x) = (7x^3 - 2x^12 - 8x^999) * (3x^2 + 5x^5)
- 展开后得到：21x8 - 6x17 - 24x1004
五、总结
数据结构线性表在表示一元多项式方面具有显著的优势，可以通过稀疏表示法、顺序存储和链式存储等方式来优化存储和运算效率。一元多项式在计算机科学、数学、物理学等领域具有广泛的应用，如多项式相加、相乘、求值和求导等。通过线性表来表示和运算一元多项式，可以大大提高计算效率和准确性。
结语
朋友弄得多多的
敌人弄得少少的
！！！
原文地址：https://blog.csdn.net/m0_73399576/article/details/144016426
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