【数学建模】线性规划问题及Matlab求解
问题一
题目:
求解下列线性规划问题
解答:
先将题目中求最大值转化为求最小值,则有
我们就可以得到系数列向量:
我们对问题中所给出的不等式约束进行标准化则得到了
就有不等式约束条件下的变系数矩阵和常系数矩阵分别为:
等式约束条件下的系数矩阵为
然后我们利用求解器对该线性规划问题进行求解,解决该问题的Matlab代码为:
f=[-3;1;1];
a=[1,-2,1;
4,-1,-2];
b=[11;
-3];
aeq=[-2,0,1];
beq=1;
lb=zeros(3,1);%表示下界是一个三行一列的数组且全为0
[x,fval]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb);
y=-fval;%将最小值转化为最大值
disp(x);%输出各个x的取值
disp(y);%输出最大值
最终答案为:
问题二
题目:
求解下列线性规划问题
解答:
由于本题中目标函数的自变量都带有绝对值号,所以我们需要再目标函数中去掉绝对值符号,让目标函数变为标准形式,在这里我们设,不难看出,其中均大于0
于是目标函数被我们改写成了:
目标函数的系数列向量就能被表示出来:
等式约束条件也被改写为:
从而得到系数矩阵和常数矩阵为:
同时由于我们引进了新的变量,且这八个未知数都为大于0的值。
然后我们利用求解器对该线性规划问题进行求解,解决该问题的Matlab代码为:
M=[1;2;3;4];
f=[M;M];
P=[1,-1,-1,1;
1,-1,1,-3;
1,-1,-2,3];
Aeq=[-P,P];
beq=[0;1;-1/2];
lb=zeros(8,1);
[x,y]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb);
ff=-y;
uv=x(5:end)-x(1:4);
disp(uv);
disp(ff)
最终答案为:
问题三
题目:
某厂生产三种产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。每种产品要经过A、B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序,他们以表示;有三种规格的设备能完成B工序,它们以表示,产品Ⅰ可在A、B任何一种规格设备上加工。产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工,但完成B工序时,只能在设备上加工;产品Ⅲ只能在设备上加工。已知在各种机床涉笔的单件工时、原材料费、产品销售单价、各种设备有效合时以及满负载操作时机床设备的费用如下表所示,求最优的生产计划,使该厂利润最大。
设备 | 产品 | 设备有效台时 | 满负荷时的设备费用/元 | ||
Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | |||
5 | 10 | 6000 | 300 | ||
7 | 9 | 12 | 10000 | 321 | |
6 | 8 | 4000 | 250 | ||
4 | 11 | 7000 | 783 | ||
7 | 4000 | 200 | |||
原料费/(元/件) | 0.25 | 0.35 | 0.5 | ||
单价/(元/件) | 1.25 | 2.00 | 2.80 |
解答:
根据题目所求,不妨设产品Ⅰ在设备上加工的产品件数分别为,产品Ⅱ在设备上加工的产品件数分别为,产品Ⅲ在设备上加工的产品件数分别为
根据题目我们不难得到利润的目标函数
也就是:
化为求解器的标准形式为
目标函数的系数列向量为
由于每件产品都要经过A,B两步骤,我们就可以得到关于x的三条等式约束关系:
也就是:
系数矩阵和常数矩阵为:
且每台设备的有效台时固定,我们就可以得到对应的不等式约束关系:
则有系数矩阵和常数矩阵为:
不难看出每一个x都是不小于0的,我们就可以得到解决该问题的matlab代码:
f=-[1.25-0.25-300*5/6000;
1.25-0.25-321*7/10000;
-250*6/4000;
-783*4/7000;
-200*7/4000;
2-0.25-300*10/6000;
2-0.25-321*9/10000;
-250*8/4000;
2.8-0.5-321*12/10000;
-783*11/7000];
a=[5,0,0,0,0,10,0,0,0,0;
0,7,0,0,0,0,9,0,12,0;
0,0,6,0,0,0,0,8,0,0;
0,0,0,4,0,0,0,0,0,11;
0,0,0,0,7,0,0,0,0,0];
b=[6000;
10000;
4000;
7000;
4000];
Aeq=[1,1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0;
0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1];
beq=[0;
0;
0];
lb=zeros(10,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
disp(x)
disp(ff)
得到的结果是:
但该规划应为整数规划,我们调整代码得到:
f=-[1.25-0.25-300*5/6000;
1.25-0.25-321*7/10000;
-250*6/4000;
-783*4/7000;
-200*7/4000;
2-0.25-300*10/6000;
2-0.25-321*9/10000;
-250*8/4000;
2.8-0.5-321*12/10000;
-783*11/7000];
a=[5,0,0,0,0,10,0,0,0,0;
0,7,0,0,0,0,9,0,12,0;
0,0,6,0,0,0,0,8,0,0;
0,0,0,4,0,0,0,0,0,11;
0,0,0,0,7,0,0,0,0,0];
b=[6000;
10000;
4000;
7000;
4000];
Aeq=[1,1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0;
0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1];
beq=[0;
0;
0];
lb=zeros(10,1);
intcon=(1:10);
[x,y]=intlinprog(f,intcon,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
disp(x)
disp(ff)
最终的结果是:
问题四
题目 :
一架货机有三个货舱:前舱、中仓和后舱。三个货舱所能装载的货物的最大质量和体积有限制如下表所示。并且为了飞机的平衡,三个货舱装在的货物质量必须与其最大的容许量成比例。
前舱 | 中仓 | 后舱 | |
质量限制/t | 10 | 16 | 8 |
体积限制/ | 6800 | 8700 | 5300 |
现有四类货物用该货机进行装运,货物的规格以及装运后获得的利润如下表所示
质量/t | 空间/(/t) | 利润(元/t) | |
货物1 | 18 | 480 | 3100 |
货物2 | 15 | 650 | 3800 |
货物3 | 23 | 580 | 3500 |
货物4 | 12 | 390 | 2850 |
假设:
(1)每种货物都可以无限细分;
(2)每种货物可以分布在一个或者多个货舱内;
(3)不同的货物可以放在同一个货舱内,并可以保证不留空隙;
应如何装运,才能使伙计的飞行利润最大?
解答:
首先我们分别假设货物1到货物4装载在前舱、中仓、后舱的重量分别为
根据表格我们得到了本问题的目标函数
化为标准形式就是
系数列向量为:
根据货舱的质量限制和体积限制我们可以得到三类不等式约束
质量的不等式约束:
体积的不等式约束:
三种货物的质量总量的不等式约束:
综合一起我们得到了全部变量的不等式约束
系数矩阵及常数矩阵为:
由于三个货舱装在的货物质量必须与其最大的容许量成比例,我们可以得到一个等式条件
也就是满足下列两个等式条件:
对应的常系数矩阵为:
不难看出每一个都是不小于0的值。
这样我们就可以得到利用求解器求解该线性规划的matlab代码 :
f1=[3100;
3100;
3100];
f2=[3800;
3800;
3800];
f3=[3500;
3500;
3500];
f4=[2850;
2850;
2850];
f=-[f1;
f2;
f3;
f4];
a=[1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0;
0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0;
0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1;
480,0,0,650,0,0,580,0,0,390,0,0;
0,480,0,0,650,0,0,580,0,0,390,0;
0,0,480,0,0,650,0,0,580,0,0,390;
1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0;
0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1];
b=[10;
16;
8;
6800;
8700;
5300;
18;
15;
23;
12];
a1=[8,-5,0];
a2=[0,1,-2];
Aeq=[a1,a1,a1,a1;
a2,a2,a2,a2];
beq=[0;
0];
lb=zeros(12,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
x1=sum(x(1:3));
x2=sum(x(4:6));
x3=sum(x(7:9));
x4=sum(x(10:12));
x1=roundn(x1,-4);
x2=roundn(x2,-4);
x3=roundn(x3,-4);
x4=roundn(x4,-4);
ff=roundn(ff,-4);
disp(x1)
disp(x2)
disp(x3)
disp(x4)
disp(ff)
值得指出的是下列代码的作用是对x1四舍五入到指定的四位小数
x1=roundn(x1,-4);
最后得到的结果是:
问题五
题目:
某部门在今后五年内考虑给下列项目投资,已知:
项目A,从第一年到第四年每年年初都需要投资,并于次年末回收本利115%;
项目B,从第三年初需要投资,到第五年末能回收本利125%,但规定最大投资额不超过4万元;
项目C,第二年年初需要投资,到第五年末能回收本利140%,但规定最大投资额不超过3万元;
项目D,五年内每年初可购买公债,于当年末归还,并加利息6%。
该部门现有资金10万元,问它应如何确定给这些项目每年的投资额,使得到第五年末拥有的资金的本利总额最大?
解答:
只有该项目组每年都把资金全部投入出去,最后得到的本利总额才能最大。
假设第一年年初给项目A和项目C分别投资元,我们就可以得到:
则第二年可以分配的资金为元,
假设第二年年初给项目A、项目C和项目D分别投资元,我们就可以得到:
则第三年可以分配的资金为元
假设第三年年初给项目A、项目B和项目D分别投资元,我们就可以得到:
则第四年可以分配的资金为元
假设第四年年初给项目A和项目D分别投资元,我们就可以得到:
第五年可以分配的资金为
假设第五年初给项目D投资元,我们可以得到:
我们可以得到最后的本利总额也就是目标函数为:
化为求解器中的标准形式为:
系数列向量为
根据上述的分析过程我们可以得到不等式约束为:
对应的系数矩阵和常数矩阵为:
相应的等式约束条件为:
得到相应的常系数矩阵和常数矩阵为:
根据上述过程我们就能得到解决该问题的matlab代码:
f=-[0;
0;
0
1.4;
0;
0;
1.25;
0;
1.15;
0;
1.06];
a=[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0];
b=[30000;
40000];
Aeq=[1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,-1.06,1,1,1,0,0,0,0,0,0;
-1.15,0,0,0,-1.06,1,1,1,0,0,0;
0,0,-1.15,0,0,0,0,-1.06,1,1,0;
0,0,0,0,0,-1.15,0,0,0,-1.06,1];
beq=[100000;
0;
0;
0;
0];
lb=zeros(11,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
disp(x)
disp(ff)
最终的答案为:
问题六
题目:
食品厂用三种原料生产两种糖果,糖果的成分要求和销售价见下表
原料A | 原料B | 原料C | 价格/(元/kg) | |
高级奶糖 | 24 | |||
水果糖 | 15 |
各种原料的可供量和成本见下表:
原料 | 可供量/kg | 成本/(元/kg) |
A | 500 | 20 |
B | 750 | 12 |
C | 625 | 8 |
该厂根据订单至少需要生产600kg高级奶糖、800kg水果糖,为求最大利润,试建立线性规划模型并求解。
解答:
不妨假设高级奶糖和水果奶糖所含有原料A、B、C的质量分别为
根据题目我们可以得到所求的目标函数
对上该式进行化简我们可以得到
化为标准形式则为
系数列向量为:
根据题目我们一共发现了下述的三类不等式约束关系:
根据原料的可供量我们可以得到以下的不等式约束关系:
根据两种糖中原料占比的关系我们可以得到以下的不等式约束关系:
根据订单量的要求我们得到以下的不等式约束关系:
对应的变系数矩阵和常数矩阵为:
不难看出三种原料在两种糖中的使用量均不为0
根据上述分析我们可以的到计算该线性规划模型的matlab代码
f=-[4;
12;
16;
-5;
3;
7];
a=[1,0,0,1,0,0;
0,1,0,0,1,0;
0,0,1,0,0,1;
-1,1,1,0,0,0;
1,-3,1,0,0,0;
-1,-1,9,0,0,0;
0,0,0,3,-2,-2;
0,0,0,-2,3,-2;
0,0,0,3,3,-17;
-1,-1,-1,0,0,0;
0,0,0,-1,-1,-1];
b=[500;
750;
625;
0;
0;
0;
0;
0;
0;
-600;
-800];
lb=zeros(6,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,[],[],lb);
ff=-y;
format long
disp(x)
disp(ff)
最后得到的答案是:
原文地址:https://blog.csdn.net/2401_82621879/article/details/144095080
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