2012年IMO几何预选题第8题

$△ABC$ 的外心为点 $O$, 在 $△ABC$ 的外接圆外有一条直线 $l$, 过 $O$ 向 $l$ 作垂线, 垂足为 $P$, 设直线 $BC$, $AC$, $AB$ 分别交 $l$ 于 $X$, $Y$, $Z$. 求证: $(XPA)$, $(YPB)$, $(ZPC)$ 共轴.

证明: 只需证明三个圆除 $P$ 外还有一个公共点. 设 $△ABC$ 的外接圆为圆 $O$, 设 $(OBP)$ 交 $⨀O$ 于 $Y_1$, $B$, 延长 $C{Y}_1$ 交 $⨀O$ 于 $Y_2$.

$\angle PBZ=\angle Y_{2}PY=\angle B{Y}_2{Y}_1=\angle BC{Y}_1$, 所以 $P$, $Y_1$, $C$, $X$ 共圆, $B$, $P$, $Y$, $Y_2$ 共圆.

设 $(OCP)$ 交 $⨀O$ 于 $Z_1$, $C$, 延长 $Z{Z}_1$ 交 $⨀O$ 于 $Z_2$. 可类似地得到 $P$, $X$, $B$, $Z_1$ 共圆, $C$, $P$, $Z$, $Z_2$ 共圆.

设 $(OPA)$ 交 $⨀O$ 于 $X_1$, $C$, 延长 $X{X}_1$ 交 $⨀O$ 于 $X_2$.

$\angle A{X}_2{X}_1=\angle APX$, $A$, $P$, $X$, $X_2$ 共圆.

对 $(P{Y}_{1}C)$, $⨀O$, $(P{Z}_{1}B)$ 应用根心定理, 有 $B{Z}_1$, $C{Y}_1$, $PX$ 共点, 设该点为 $Q$.

显然 $\angle BQC=\angle BPC$, $B$, $Q$, $P$, $C$ 共圆.

对 $(QPZ)$, $⨀O$, $(QPC)$ 应用根心定理, $BC$, $Z_1{Y}_1$, $PQ$ 共点, 即点 $X$.

同理, $X_1{Y}_1$ 过点 $Z$, $X_1{Z}_1$ 过点 $Y$.

对 $⨀O$, $(PXZ)$, $(PXC)$ 应用根心定理, $A{X}_1$ 经过点 $Q$.

设 $X{X}_1$ 与 $Y{Y}_1$ 交于 $Q^{\prime }$, 设 $X{X}_1$ 与 $Z{Z}_1$ 交于 $Q^{\prime \prime }$, 同理, $C{Z}_2$ 经过 $Q^{\prime }$, $B{Y}_2$ 经过 $Q^{\prime \prime }$.

对 $△AZY$ 和 $△Q{Y}_1{Z}_1$ 应用迪沙格定理, $A{X}_2$, $Z{Z}_2$, $Y{Y}_2$ 交于一点.

同理, $B{Y}_2$, $Z{Z}_2$, $X{X}_2$ 交于一点, $C{Z}_2$, $X{X}_2$, $Y{Y}_2$ 交于一点.

对 $X{X}_2$, $Y{Y}_2$, $Z{Z}_2$ 围成的三角形和 $△ABC$ 应用迪沙格定理, 可知 $A{X}_2$, $B{Y}_2$, $C{Z}_2$ 交于一点.

证毕.

2025年1月17日

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