【概率论】-2-概率论公理(Axioms of Probability)
上一篇文章我们学习了基本的概率论内容-排列组合，本次我们学习概率论公理的内容，正式开始计算概率，在开始前我们需要学习一些基本概念。
目录
一.样本空间和事件
1.样本空间
一个试验的所有可能结果构成的集合，称为试验的样本空间（Sample Space），记作S。如扔两枚硬币，样本空间为：
如仍两个骰子，考察点数，那么样本空间为：
2.事件
样本空间的任意子集是事件（event），如果实验的结果包含在事件内，那么就是事件发生了
3.交并补
这个过于简单，画个Venn图结束：分别是并集（或）、交集（且）、补集、包含
基本运算遵循代数运算：
这里需要学习一个进行运算的德摩根率，证明过程不论述：
二、概率公理
1.基本公理
如果事件E中的样本点数量为n(E)，而样本空间Ω中的样本点数量为n(Ω)，假设样本空间Ω中的每个样本点发生的可能性相等，那么事件E发生的概率由下式给出：
我们得到几条公理：
（1）
（2）
（3）
（4）
2.对称差
对称差包含了属于E或F但不同时属于两者的所有元素。换句话说，对称差包含了那些仅属于E或仅属于F的元素，但不包括同时属于E和F的元素。
E Δ F = (E ∪ F) - (E ∩ F)
（1）交换律：E Δ F = F Δ E
（2）结合律：(E Δ F) Δ G = E Δ (F Δ G)
（3）对称差与并集的关系：E Δ (F ∪ G) = (E Δ F) ∩ (E Δ G)
（4）对称差与交集的关系：E Δ (F ∩ G) = (E Δ F) ∪ (E Δ G)
我们使用Mathematica可视化：
2.布尔不等式
布尔不等式指出对于全部事件的概率不大于单个事件的概率总和（字面意思理解）：
我们通过一个例题加深我们的理解：
例1：从集合{1,...,1000}中随机有放回地抽取整数。设事件E为抽到的数能同时被5、7或13整除。用Di表示抽到的数能被i整除的事件，取到一个这样的数的概率是多少？
我们使用mathematica进行计算：
似乎有点复杂，我们使用Java写一个简单模拟程序：
import java.util.Random;
public class Simulation {
public static void main(String[] args) {
int totalNumbers = 1000;
int simulations = 3000;
int count = 0;
Random random = new Random();
for (int i = 0; i < simulations; i++) {
int number = random.nextInt(totalNumbers) + 1; // 生成1到1000之间的随机数
if (number % 5 == 0 || number % 7 == 0 || number % 13 == 0) {
count++;
}
}
double simulatedProbability = (double) count / simulations;
System.out.println("通过模拟得到的概率是: " + simulatedProbability);
}
}
三、具有等可能结果的样本空间
我们通过一些例题来学习概率的基本计算
例1：从一副充分洗好的52张标准扑克牌中随机抽取一张牌，求这张牌同时是红心和A的概率
我们可以使用德摩根率反过来看这个问题：
非红心牌有多少张？有39张。在这39张非红心中，有3张是A。所以有36张既不是红心也不是A
例2：5个球随机扔进10个箱子，求没有箱子内多于一个球的概率
两种思路均可以，一种是考虑全局，一种是每次进行一次考虑
例3：有15个新生，12个男生，3个女生，随机分到三个教室求（1）每个班一个女生的概率（2）一个班三个女生的概率
这个用到前一篇的分组问题计算，忘记的朋友可以回顾一下：【基于Mathematica的最易懂概率论】-1-排列组合-CSDN博客
（1）我们先对样本空间计数：
接下来思考事件计数，三个女生分别去三个班就是3的全排列，剩下四个位置是男生分组排列
因此概率计算为：
（2）三个女生要在一个班，因此男生的分组为5、5、2，而女生所在班有三种可能性
例4：我们考虑一个复杂的占位问题：一个球队分别在一个赛季的输赢可以表示为：WLWLWLWWWLLWWWWWWWLL这样的输赢序列，其中赢了13场，输赢认为是随机的，我们想知道连赢5场的概率是多少？
我们用x表示这一对连赢的队列，那么：
用y表示另一对连赢的队列，那么：
因此这就转变为两个占位问题：
令y1=z1-1，y6=z6-1，系数变换后得到：
因此得到：
四、连续集函数
如果事件序列En满足：
那么就是递增序列，如果事件序列En满足：
那么就是递减序列
我们学习波莱尔－坎泰利引理：如果有无穷个概率事件，它们发生的概率之和是有限的，那么其中的无限多个事件一同发生的概率是零。
例：考虑一个公平的硬币独立抛掷的序列。每当出现r个连续正面时，我们称之为一次成功。如果我们无限次地抛掷硬币，成功的概率为1嘛？
每当一次成功发生时，我们认为一个实验已经发生。设An为已经发生了n次实验的事件
我们看到An是一个单调序列。根据概率的连续性，我们可以得出结论：
因此：
原文地址：https://blog.csdn.net/qq_51566832/article/details/140640397
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