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《⼆叉搜索树》

🕗 发布于 2024-11-10 20:32 数据结构  

《⼆叉搜索树》

1. ⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:
1• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值

2• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值

3• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树

4• ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值

在这里插入图片描述

2. ⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： O(log2 N)

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： O( 2/N)

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

【二分查找】
也可以实现O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

1：有序且需支持下标随机访问
2：插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。

这就体现搜索二叉树的重要性。

对于二叉搜索树有着特殊情况：
在这里插入图片描述
以上的情况，在普通搜索二叉树中会拖长，搜索时间和访问的时间都会有所延长，为了解决这种情况，就体现了⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据的重要性。

3 二叉树的功能说明及实现

3.1 ⼆叉搜索树的插⼊

具体实现如下：

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
  2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。
  3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
template<K>
class BStree
{
   typedef BSTNode<K> Node;
   public:
   bool insert(const K& key)
   {
    Node* cur=_root;
    Node* parent=nullptr;
    if(_root==nullptr)
    {
     _root = new Node(key);
    }
    while(cur)
    {
     if(cur->_key<=key)
     {
       parent=cur;
       cur=cur->right;
     }
     else if(cur->_key>key)
     {
       parent=cur;
       cur=cur->left;
     }
     esle
     {
       return false;
     }
   }
     cur=new Node(key);
     if(parent->_key<=key)
      parent->_right=cur;
     else
      parent->_left=cur;
     return true;
   }
private:
Node* _root=nullptr;
}

3.2 ⼆叉搜索树的查找

  1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。

  2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。

  3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回

没有重复的元素的普通查找

bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
return true;
}
return false;
}
  1. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要
    找到1的右孩⼦的那个3返回

有重复元素的查找，那就的依靠中序来遍历第一个元素

在这里插入图片描述

3.3 ⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

  1. 要删除结点N左右孩⼦均为空
  2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
  3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
  4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

  1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样
    的）
  2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
  3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
  4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点
    R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的
    位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结
    点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
bool erase(const K& key)
{

Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)//找到对应元素
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}

else//删除节点(左右节点为空是被包含在，左节点为空或右节点为空的情况下的，所以不用考虑这种情况)
{
if (cur->_left == nullptr)//1:左节点为空
{
if (parent == nullptr)//判断是否删除的是根节点
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}

else if (cur->_right == nullptr)//2:右节点为空
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}

else//3:双节点
{
Node* replace = cur->_right;
Node* replaceparent = cur;
while (replace->_left)//找到替换节点
{
replaceparent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceparent->_left == replace)
replaceparent->_left = replace->_right;
else
replaceparent->_right = replace->_right;
delete replace;
return true;
}
return false;
}
}
}

4二叉搜索树的实现代码

template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};

template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
return true;
}
return false;
}
bool insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
void _inorder()
{
inorder(_root);
cout << endl;
}
bool erase(const K& key)
{

Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}

else
{
if (cur->_left == nullptr)//左节点为空
{
if (parent == nullptr)//判断是否删除的是根节点
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}

else if (cur->_right == nullptr)//右节点为空
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}

else//双节点
{
Node* replace = cur->_right;
Node* replaceparent = cur;
while (replace->_left)//找到替换节点
{
replaceparent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceparent->_left == replace)
replaceparent->_left = replace->_right;
else
replaceparent->_right = replace->_right;
delete replace;
return true;
}
return false;
}
}
}

private:
void inorder(Node * root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}

inorder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
inorder(root->_right);
}
private:

Node* _root = nullptr;
};

5 ⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

5.1 key搜索场景：

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断
key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结
构了。

场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的
⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆
法进⼊。



场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单
词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

在这里插入图片描述

5.2 key/value搜索场景：

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存
储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查
找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修
改key破坏搜索树结构了，可以修改value。

 场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时
 查找到了英⽂对应的中⽂。

 场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查
 找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。

 场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次
 出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

在这里插入图片描述

5.3 key/value⼆叉搜索树代码实现

template<class K, class V>
struct BSTNode
{
// pair<K, V> _kv;
K _key;
V _value;
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
BSTNode(const K& key, const V& value)
:_key(key)
, _value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K, V> Node;
public:
BSTree() = default;
BSTree(const BSTree<K, V>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur -> _right;
else
parent->_right = cur -> _right;
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur -> _left;
else
parent->_right = cur -> _left;
}
delete cur;
return true;
}
else
{ 

Node * rightMinP = cur;
Node* rightMin = cur->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMinP = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
cur->_key = rightMin->_key;
if (rightMinP->_left == rightMin)
rightMinP->_left = rightMin -> _right;
else
rightMinP->_right = rightMin -> _right;
delete rightMin;
return true;
}
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

结束！！！

压力不是有人比你努力，而是比你牛叉几倍的人依然在努力。每个优秀的人，都有一段沉默的时光继承就讲到这里谢谢大家的观看！！！


原文地址：https://blog.csdn.net/2301_80109683/article/details/143658323

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