哈夫曼树（Huffman Tree）

    哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它是由美国计算机科学家David A.Huffman于1952年提出的。哈夫曼树广泛应用于数据压缩、编码等领域，因为它可以有效地减少数据的存储空间和传输时间。

一、预备知识：

1.结点的权:有某种现实含义的数值（如:表示结点的重要性等)
2.结点的带权路径长度:从树的根到该结点的路径长度（经过的边数〉与该结点上权值的乘积

3.树的带权路径长度:树中所有叶结点的带权路径长度之和(WPL, Weighted Path Length)
 

来看几个例子：

EX1:                  EX2:

EX3:                     EX4:

 在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度（WPL)最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树.

二、哈夫曼树的构造：

给定n个权值分别为w,, w2..., w,的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下:

1）将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F。
2）构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树
并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。
3）从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。

4）重复步骤2）和3），直至F中只剩下一棵树为止。
 

step1:    

step2:    

step3:    

tips：

 1）每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大

2）哈夫曼树的结点总数为2n -1
3）哈夫曼树中不存在度为1的结点。
4)哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优

还可以如下构造：

step1:    

step2:    

step3:    

 

 三、哈夫曼编码：

    哈夫曼编码是一种用于数据压缩的算法，它通过将频繁出现的字符用较短的二进制码表示，而将较少出现的字符用较长的二进制码表示，从而实现数据的压缩。
 

固定长度编码――每个字符用相等长度的二进制位表示

可变长度编码――允许对不同字符用不等长的二进制位表示
若没有一个编码是另一个编码的前缀，则称这样的编码为前缀编码
有哈夫曼树得到哈夫曼编码――字符集中的每个字符作为一个叶子结点，各个字符出现的频度作为结点的权值，根据之前介绍的方法构造哈夫曼树
 

相关代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

typedef struct Node {
    char data; // 字符
    int weight; // 权值
    struct Node *left, *right; // 左右子节点
} Node;

// 创建新节点
Node* createNode(char data, int weight) {
    Node *node = (Node *)malloc(sizeof(Node));
    node->data = data;
    node->weight = weight;
    node->left = node->right = NULL;
    return node;
}

// 构建哈夫曼树
Node* buildHuffmanTree(char *data, int *weight, int size) {
    Node **nodes = (Node **)malloc(size * sizeof(Node *));
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        nodes[i] = createNode(data[i], weight[i]);
    }
    while (size > 1) {
        int min1 = -1, min2 = -1;
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            if (min1 == -1 || nodes[i]->weight < nodes[min1]->weight) {
                min2 = min1;
                min1 = i;
            } else if (min2 == -1 || nodes[i]->weight < nodes[min2]->weight) {
                min2 = i;
            }
        }
        Node *newNode = createNode('\0', nodes[min1]->weight + nodes[min2]->weight);
        newNode->left = nodes[min1];
        newNode->right = nodes[min2];
        nodes[min1] = newNode;
        nodes[min2] = nodes[size - 1];
        size--;
    }
    return nodes[0];
}

// 生成哈夫曼编码
void generateHuffmanCode(Node *root, char *code, int depth) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
        printf("%c: %s
", root->data, code);
    }
    char leftCode[100], rightCode[100];
    strcpy(leftCode, code);
    strcat(leftCode, "0");
    strcpy(rightCode, code);
    strcat(rightCode, "1");
    generateHuffmanCode(root->left, leftCode, depth + 1);
    generateHuffmanCode(root->right, rightCode, depth + 1);
}

// 解码哈夫曼编码
void decodeHuffmanCode(Node *root, char *code) {
    Node *cur = root;
    while (*code != '\0') {
        if (*code == '0') {
            cur = cur->left;
        } else {
            cur = cur->right;
        }
        if (cur->left == NULL && cur->right == NULL) {
            printf("%c", cur->data);
            cur = root;
        }
        code++;
    }
    printf("
");
}

int main() {
    char data[] = {'A', 'B', 'C', 'D'};
    int weight[] = {8, 3, 3, 6};
    int size = sizeof(data) / sizeof(data[0]);
    Node *root = buildHuffmanTree(data, weight, size);
    printf("Huffman Code:
");
    generateHuffmanCode(root, "", 0);
    printf("Decode: ");
    decodeHuffmanCode(root, "1001011"); // 输出：ABCD
    return 0;
}

 

 

原文地址：https://blog.csdn.net/m0_64055811/article/details/137967524

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