证明并构造一个使得复曲面有素数个不动点的圆作用，当且仅当指数为1

考虑3维复射影空间$\mathbb{C}{P}^3$中由

$$z_0^n+z_1^n+z_2^n+z_3^n=0$$

定义的复曲面, 其中$n$为正整数。假设该复曲面上存在一个恰有素数个不动点的光滑$S^1$作用，

证明:$n=1$, 并构造出相应的作用。

证：

1:不动点的性质

首先，考虑$S^1$作用在复曲面上的不动点。设$S^1$ 作用为:

$$(z_0,z_1,z_2,z_3)\mapsto (e^{i{\theta }_0}{z}_0,e^{i{\theta }_1}{z}_1,e^{i{\theta }_2}{z}_2,e^{i{\theta }_3}{z}_3)$$

其中 ${\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3\in \mathbb{R}$且${\theta }_i$ 是$S^1$ 的参数。

不动点条件是，对于某些$\theta \in S^1$，有:

$$e^{i{\theta }_0}{z}_0=z_0$$

$$e^{i{\theta }_1}{z}_1=z_1$$

$$e^{i{\theta }_2}{z}_2=z_2$$

$$e^{i{\theta }_3}{z}_3=z_3$$

由此可知，不动点必须满足$z_i=0$ 或${\theta }_i=2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

2:对$n$ 的讨论

我们分两种情况讨论:

当$n=1$ 时:

方程变为$z_0+z_1+z_2+z_3=0$。这是$\mathbb{C}{P}^3$中的一个超平面。考虑以下$S^1$作用:

$$(z_0,z_1,z_2,z_3)\mapsto (e^{i\theta }{z}_0,e^{i\theta }{z}_1,e^{i\theta }{z}_2,e^{i\theta }{z}_3)$$

显然，这个作用在 $z_0+z_1+z_2+z_3=0$上保持不变。不动点是满足$e^{i\theta }{z}_i=z_i$ 的点，即$z_i=0$ 或 $\theta =2k\pi$。对于$S^1$作用，只有$\theta =0$ 时整个超平面上的点都是不动点。

这个作用在我们的定义下不会给出恰好素数个不动点。

考虑另一种作用:

$$(z_0,z_1,z_2,z_3)\mapsto (e^{i\theta }{z}_0,z_1,z_2,z_3)$$

此时，不动点是$z_0=0$或$\theta =2k\pi$。此时，不动点在$z_1+z_2+z_3=0$ 这个$\mathbb{C}{P}^2$ 中选择的点上。通过适当选择$S^1$ 作用的参数，可以控制不动点的数目为任意正整数(包括素数)。

当$n>1$时:

方程 $z_0^n+z_1^n+z_2^n+z_3^n=0$定义了一个更复杂的曲面。我们仍然考虑$S^1$作用:

$$(z_0,z_1,z_2,z_3)\mapsto (e^{i{\theta }_0}{z}_0,e^{i{\theta }_1}{z}_1,e^{i{\theta }_2}{z}_2,e^{i{\theta }_3}{z}_3)$$

不动点要满足$e^{i{\theta }_i}{z}_i=z_i$,即$z_i=0$或${\theta }_i=2k\pi /n$。对于$n>1$，这些条件会产生更多的不动点，并且很难精确控制不动点的数目为素数个。

通过上述分析，可以看出为了保证有恰好素数个不动点，最可能的情况是$n=1$。对于 $n=1$.我们可以构造如下$S^1$作用:

$$(z_0,z_1,z_2,z_3)\mapsto (e^{i\theta }{z}_0,z_1,z_2,z_3)$$

这个作用在$z_0+z_1+z_2+z_3=0$上保持不变，并且通过选择合适的参数可以确保恰好有素数个不动点。

因此，$n=1$并且可以构造出相应的$S^1$作用。

原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_30777913/article/details/143500538

免责声明：本站文章内容转载自网络资源，如本站内容侵犯了原著者的合法权益，可联系本站删除。更多内容请关注自学内容网（zxcms.com）！