Java_二叉树
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一、二叉树
1.树型结构
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
2.概念（重要）
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
3.树的表示形式（了解）
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
4.树的应用
文件系统管理（目录和文件）
5.二叉树的概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
从上图可以看出： - 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
6.两种特殊的二叉树
- 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完比特就业课全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
7.二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2的i-1次方 (i>0)个结点
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2的k次方-1 (k>=0)
- 对任何一棵二叉树, 果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
推导
假设一棵二叉树有N个节点
n0:代表度为0的
N = n0+n1+n2
节点为N有N-1个边，n1有一条边，n2有有两条边
N -1 = n1 + 2*n2
联立：
n0 + n1 + n2 -1= n1 + 2*n2
n0 = n2 +1
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1) 上取整
推导
2的k次方 -1 = n
2的k次方 = n+1
k = log2(n+1)
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i
的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右 孩子
练习
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
答案：
1.B
解释：
n0 = n2+1
n2 = 199;
n0 = 200
n1 = 0;
故选B
2.A
n0 = n2 +1
设n2 = x
n1 可能为1或者0,但因为有2n个节点，只能为1
2n = x-1 + x + 1
x = n
故选A
3.B
767 = n0 +n1 +n2
767 = 2*n0 -1 + n1
n1只能为0
2*n0 = 768
n0 = 384
故选B
4.B
k = log2(532)
k向上取整为10
故选B
8.二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在下节介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。
9.二叉树的遍历
手动创建二叉树
目前的思路：先创建节点，以穷举的方式创建一个二叉树！先学会二叉树的遍历操作，再做其他的！
package demo1;
public class BinaryTree {
static class TreeNode{
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val)
{
this.val =val;
}
}
public TreeNode createTree()
{
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
E.right = H;
C.left = F;
C.right = G;
return A;
}
}
分别用前中后遍历树：
// 前序遍历
void preOrder(TreeNode root);
// 中序遍历
void inOrder(TreeNode root);
// 后序遍历
void postOrder(TreeNode root);
// 前序遍历
void preOrder(TreeNode root)
{
if(root==null)
{
return;
}
System.out.println(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
// 中序遍历
void inOrder(TreeNode root)
{
if(root==null)
{
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.println(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
// 后序遍历
void postOrder(TreeNode root)
{
if(root==null)
{
return;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}
public class Test {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
BinaryTree.TreeNode root = binaryTree.createTree();
System.out.println("===");
binaryTree.preOrder(root);
System.out.println();
binaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
binaryTree.postOrder(root);
System.out.println();
}
}
1、前中后遍历
学习二叉树结构，最简单的方式是遍历。**所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。**遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
2、层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
3、二叉树的基本操作
// 获取树中节点的个数
int size(TreeNode root);
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(TreeNode root);
// 子问题思路-求叶子结点个数
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);
//层序遍历
void levelOrder(Node root);
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);
获取树中节点的个数
public int size(TreeNode root)
{
if(root==null)
{
return 0;
}
return size(root.left)+size(root.right)+1;
}
获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(TreeNode root)
{
if(root==null)
{
return 0;
}
if(root.left==null&&root.right==null)
{
return 1;
}
return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);
}
获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k)
{
if(root==null)
{
return 0;
}
if(k==1)
{
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}
获取二叉树的高度
int getHeight(TreeNode root)
{
if(root==null)
{
return 0;
}
return Math.max(getHeight(root.left),getHeight(root.right))+1;
}
检测值为value的元素是否存在
TreeNode find(TreeNode root, int val)
{
if(root==null)
{
return null;
}
if(root.val==val)
{
return root;
}
TreeNode ret1 = find(root.left,val);
if(ret1!=null)
{
return ret1;
}
TreeNode ret2 = find(root.right,val);
if(ret2!=null)
{
return ret2;
}
return null;
}
层序遍历
void levelOrder(TreeNode root)
{
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
if(root==null)
{return;}
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty())
{
TreeNode cur = queue.poll();
System.out.print(cur.val+" ");
if(cur.left!=null)
{
queue.offer(cur.left);
}
if(cur.right!=null)
{
queue.offer(cur.right);
}
}
System.out.println();
return;
}
判断一棵树是不是完全二叉树
练习1
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
答案：
1.A
2.B
由先序遍历确定根，再由中序遍历左子树和右子树。
3.D
方法同上
由后续遍历从后面可以确定根节点，在由中序遍历确定左右子树。
4.A
练习2
相同的树
相同的树
1.如果两个节点不为空判断值
2.如果一个节点为空一个不为抗肯定不是相同的树
整体来看：要判断两个树是否相同，得同时判断根，然后判断两棵数的左子树是否相同&&两棵树的右子树是否相同
class Solution {
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {
if((p==null&&q!=null)||(p!=null&&q==null))
{
return false;
}
if(p==null&&q==null)
{
return true;
}
if(p.val!=q.val)
{
return false;
}
return isSameTree(p.left,q.left)&&isSameTree(p.right,q.right);
}
}
另一棵树的子树
另一棵树的子树
如果根节点比较完不是相同的树
那么是不是意味着，这个subRoot这棵树和root的某一个子树是相同的判断的是subRoot和root的左树是不是两棵相同的树，不是那么判断右树。
这会使用到，刚刚的判断两棵树是否相同的那个代码
class Solution {
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {
if((p==null&&q!=null)||(p!=null&&q==null))
{
return false;
}
if(p==null&&q==null)
{
return true;
}
if(p.val!=q.val)
{
return false;
}
return isSameTree(p.left,q.left)&&isSameTree(p.right,q.right);
}
public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) {
if(root==null||subRoot==null)
{
return false;
}
if(isSameTree(root,subRoot))
{
return true;
}
if(isSubtree(root.left,subRoot))
{
return true;
}
if(isSubtree(root.right,subRoot))
{
return true;
}
return false;
}
}
翻转二叉树
翻转二叉树
只要遍历到这个节点，就把这个节点的两个引用换一下就好了，直到所有节点遍历完成。
class Solution {
public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
if(root==null)
{
return null;
}
TreeNode temp = root.left;
root.left = root.right;
root.right = temp;
invertTree(root.left);
invertTree(root.right);
return root;
}
}
平衡二叉树
class Solution {
public int getHeight(TreeNode root)
{
if(root==null)
{
return 0;
}
int leftHeight = getHeight(root.left);
if(leftHeight<0)
{
return-1;
}
int rightHeiht = getHeight(root.right);
if(leftHeight>=0&&rightHeiht>=0&&Math.abs(leftHeight-rightHeiht)<=1)
{
return Math.max(leftHeight,rightHeiht) +1;
}
else
{
return -1;
}
}
public boolean isBalanced(TreeNode root) {
if(root==null)
{
return true;
}
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeiht = getHeight(root.right);
if(leftHeight==-1||rightHeiht==-1)
{
return false;
}
return Math.abs(leftHeight-rightHeiht)<=1&&isBalanced(root.left)&&isBalanced(root.right);
}
}
对称二叉树
对称二叉树
要判断左右树对称不？
1.根的值一样
2.左树的左和右树的右
3.左树的右和右树的左
class Solution {
public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
if(root==null)
{
return true;
}
return isSymmetricChild(root.left,root.right);
}
public boolean isSymmetricChild(TreeNode left,TreeNode right) {
if(left==null&&right==null)
{
return true;
}
if(left==null||right==null)
{
return false;
}
if(left.val!=right.val)
{
return false;
}
return isSymmetricChild(left.left,right.right)&&isSymmetricChild(left.right,right.left);
}
}
二叉树遍历
二叉树遍历
用前序遍历的方法，来创建二叉树。
用后续遍历，打印二叉树
import java.util.Scanner;
class TreeNode{
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val)
{
this.val =val;
}
}
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
public static int i = 0;
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
// 注意 hasNext 和 hasNextLine 的区别
while (in.hasNextLine()) {
i = 0;
String str = in.nextLine();
TreeNode root = createTree(str);
inorder(root);
}
}
public static TreeNode createTree(String str)
{
if(str.charAt(i)!='#')
{
TreeNode root = null;
root = new TreeNode(str.charAt(i++));
root.left = createTree(str);
root.right = createTree(str);
return root;
}
else
{
i++;
return null;
}
}
public static void inorder(TreeNode root)
{
if(root==null)
{
return ;
}
inorder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inorder(root.right);
}
}
二叉树的层序遍历
二叉树的层序遍历
用队列将节点按层放入，和按层放出。
class Solution {
public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {
List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>();
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList();
if(root==null)
{
return ret;
}
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty())
{
int n = queue.size();
ArrayList<Integer> arrayList = new ArrayList<>();
while(n--!=0)
{
arrayList.add(queue.peek().val);
TreeNode left = queue.peek().left;
TreeNode right = queue.peek().right;
queue.poll();
if(left!=null)
{
queue.offer(left);
}
if(right!=null)
{
queue.offer(right);
}
}
ret.add(arrayList);
}
return ret;
}
}
二叉树的最近公共祖先
二叉树的最近公共祖先
分为三种情况：
1、p,q在两侧,此时root就是最近公共祖先
2、root即为p,q其中一个节点，这个root就是最近公共祖先。
3、p,q在一侧，被返回的就是最极公共祖先
/**
* Definition for a binary tree node.
* public class TreeNode {
* int val;
* TreeNode left;
* TreeNode right;
* TreeNode(int x) { val = x; }
* }
*/
class Solution {
public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
if(root==null)
{
return null;
}
if(root==p||root==q)
{
return root;
}
TreeNode leftTree = lowestCommonAncestor(root.left,p,q);
TreeNode rightTree = lowestCommonAncestor(root.right,p,q);
if(leftTree==null)
{
return rightTree;
}
if(rightTree==null)
{
return leftTree;
}
return root;
}
}
从前序与中序遍历序列构造二叉树
从前序与中序遍历序列构造二叉树
通过前序遍历找确定根，在通过中序，将根左右子树分出来。
class Solution {
int preIndex = 0;
public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
preIndex = 0;
return buildTreeChild(preorder,inorder,0,inorder.length-1);
}
public TreeNode buildTreeChild(int[] preorder,int[] inorder,int inbegin,int inend) {
if(preIndex>=preorder.length)
{
return null;
}
if(inbegin>inend)
{
return null;
}
int rooti = preorder[preIndex++];
TreeNode root = new TreeNode(rooti);
for(int i = inbegin;i<=inend;i++)
{
if(inorder[i]==rooti)
{
root.left = buildTreeChild(preorder,inorder,inbegin,i-1);
root.right = buildTreeChild(preorder,inorder,i+1,inend);
break;
}
}
return root;
}
}
从中序与后序遍历序列构造二叉树
和上一题一样，用后序找根,然后将根和左右子树分出来，在创建右子树，最后才是左子树。
class Solution {
int posIndex = 0;
public TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) {
posIndex = postorder.length-1;
return buildTreeChild(inorder,postorder,0,inorder.length-1);
}
public TreeNode buildTreeChild(int[] inorder, int[] postorder,int inbegin,int inend) {
if(posIndex<0)
{
return null;
}
if(inbegin>inend)
{
return null;
}
int rooti = postorder[posIndex--];
TreeNode root = new TreeNode(rooti);
for(int i = inbegin;i<=inend;i++)
{
if(inorder[i]==rooti)
{
root.right = buildTreeChild(inorder,postorder,i+1,inend);
root.left = buildTreeChild(inorder,postorder,inbegin,i-1);
break;
}
}
return root;
}
}
根据二叉树创建字符串
根据二叉树创建字符串
和前序遍历一样，但分处理情况：
1、左子树不为空，在遍历到下一个左子树前，添加左括号，回来后添加右括号。
2、左子树为空，右子树不为空，添加一个括号。
3、左右树都不为空，在递归前添加左括号，回来后加右括号。
class Solution {
public String tree2str(TreeNode root) {
StringBuffer stringBuffer= new StringBuffer();
tree2strChild(root,stringBuffer);
return stringBuffer.toString();
}
public void tree2strChild(TreeNode root,StringBuffer stringBuffer) {
if(root==null)
{
return;
}
stringBuffer.append(root.val);
if(root.left!=null)
{
stringBuffer.append('(');
tree2strChild(root.left,stringBuffer);
stringBuffer.append(')');
}
else
{
if(root.right!=null)
{
stringBuffer.append("()");
}
}
if(root.right!=null)
{
stringBuffer.append('(');
tree2strChild(root.right,stringBuffer);
stringBuffer.append(')');
}
return;
}
}
前序遍历二叉树非递归
前序遍历二叉树非递归
可以用到栈，在遍历根和左树的时候将根放入栈里，当遍历到空的时候，出栈，就可以遍历到右树了。
class Solution {
public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
List<Integer> ret = new ArrayList<>();
if(root==null)
{
return ret;
}
TreeNode cur = root;
while(cur!=null||!stack.isEmpty())
{
while(cur!=null)
{
ret.add(cur.val);
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
if(!stack.isEmpty())
{
cur = stack.pop().right;
}
}
return ret;
}
}
中序遍历非递归
中序遍历非递归
和前序遍历非递归一样，只是打印根时间改变了，大体一致。
class Solution {
public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
List<Integer> ret = new ArrayList<>();
if(root==null)
{
return ret;
}
TreeNode cur = root;
while(cur!=null||!stack.isEmpty())
{
while(cur!=null)
{
stack.push(cur);
cur=cur.left;
}
cur = stack.pop();
ret.add(cur.val);
cur = cur.right;
}
return ret;
}
}
后序遍历非递归
后序遍历非递归
和前面类似，但可以通过记录前一个打印指针，来判断下一个是否遍历过右边。
class Solution {
public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
List<Integer>ret = new ArrayList<>();
if(root==null)
{
return ret;
}
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur= root;
TreeNode pre =null;
while(cur!=null||!stack.isEmpty())
{
while(cur!=null)
{
stack.push(cur);
cur =cur.left;
}
cur = stack.peek();
if(cur.right==null||cur.right==pre)
{
ret.add(cur.val);
pre = cur;
stack.pop();
cur = null;
}
else
{
cur = cur.right;
}
}
return ret;
}
}
原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_66484088/article/details/136087172
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