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行列式的计算方法

行列式的计算方法根据矩阵的大小和具体情况可以采用不同的方法。以下是常用的计算行列式的方法:

一、2×2矩阵的行列式

对于一个2×2的矩阵:
A = ( a b c d ) A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} A=(acbd)

行列式的计算公式为:
det ⁡ ( A ) = a d − b c \det(A) = ad - bc det(A)=adbc

二、3×3矩阵的行列式

对于一个3×3的矩阵:
A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} A= a11a21a31a12a22a32a13a23a33

方法1:Sarrus法则(仅适用于3×3矩阵)

  1. 拓展矩阵:将矩阵的第一列和第二列复制到矩阵的右侧:
    ( a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 ) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \color{blue}{a_{11}} & \color{blue}{a_{12}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \color{blue}{a_{21}} & \color{blue}{a_{22}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \color{blue}{a_{31}} & \color{blue}{a_{32}} \end{pmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33a11a21a31a12a22a32

  2. 计算正对角线的乘积和
    P = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 P = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} P=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32

  3. 计算反对角线的乘积和
    N = a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 N = a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33} N=a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33

  4. 行列式的值为
    det ⁡ ( A ) = P − N \det(A) = P - N det(A)=PN

方法2:按行(列)展开法

选择一行或一列,利用代数余子式进行展开。例如,对第一行展开:
det ⁡ ( A ) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 \det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} det(A)=a11C11+a12C12+a13C13

其中, C i j C_{ij} Cij 是对应的代数余子式:
C i j = ( − 1 ) i + j M i j C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} Cij=(1)i+jMij

M i j M_{ij} Mij a i j a_{ij} aij余子式,即删除第 i i i 行和第 j j j 列后剩下的行列式。

三、高阶矩阵的行列式

对于 n × n n \times n n×n 的矩阵,可以使用按行(列)展开法行列变换法

1. 按行(列)展开法(Laplace展开)
  • 步骤

    1. 选择一行或一列(通常选择包含较多零元素的行或列,以简化计算)。
    2. 对该行或列的每个元素,计算其代数余子式。
    3. 将元素与其对应的代数余子式相乘,再求和。
  • 公式(以第 i i i 行展开为例):
    det ⁡ ( A ) = ∑ j = 1 n a i j C i j \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}C_{ij} det(A)=j=1naijCij

2. 行列变换法

通过对矩阵进行初等行(列)变换,将矩阵化为上三角矩阵或对角矩阵,然后利用以下性质计算行列式:

  • 性质1:如果将两行(列)交换,行列式取相反数。

  • 性质2:如果某一行(列)乘以常数 k k k,行列式也乘以 k k k

  • 性质3:如果在一行(列)中加上另一行(列)的倍数,行列式不变。

  • 性质4:上三角矩阵或下三角矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积。

  • 步骤

    1. 利用初等行变换,将矩阵化为上三角矩阵。
    2. 记录变换过程中对行列式值的影响。
    3. 最终行列式等于对角线元素的乘积,结合变换的影响,得到原矩阵的行列式。

示例

对于矩阵:
A = ( 2 3 1 4 1 − 3 − 1 2 5 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} A= 241312135

通过初等行变换,将其化为上三角矩阵,然后计算行列式。

四、使用矩阵分解法

对于大型矩阵,手工计算行列式非常繁琐,可以借助LU分解等方法,将矩阵分解为易于计算行列式的形式。

  • LU分解:将矩阵 A A A 分解为下三角矩阵 L L L 和上三角矩阵 U U U 的乘积 A = L U A = LU A=LU

  • 行列式的计算
    det ⁡ ( A ) = det ⁡ ( L ) × det ⁡ ( U ) \det(A) = \det(L) \times \det(U) det(A)=det(L)×det(U)

    由于 L L L U U U 是三角矩阵,其行列式为对角线元素的乘积。

五、行列式的性质简化计算

利用行列式的性质,可以在计算过程中简化步骤:

  • 性质5:如果矩阵有一行或一列全为零,行列式为零。
  • 性质6:如果矩阵的两行(列)相同,行列式为零。
  • 性质7:如果矩阵的某一行(列)是另一行(列)的倍数,行列式为零。

总结

计算行列式的方法多种多样,选择合适的方法可以大大简化计算过程。在手工计算时,通常优先选择含有多个零元素的行或列进行展开,或者利用行列变换将矩阵化为易于计算的形式。


原文地址:https://blog.csdn.net/u013172930/article/details/142446972

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