图形学初识--三角形重心坐标插值算法（小白狂喜）
前言
前面咱们发了两篇文章，主要讲了直线光栅化和直线插值的内容，这一节咱们聊一聊三角形插值算法，主要就是利用重心坐标公式。先忽略如何进行三角形光栅化的内容，后面有时间可以补上！
正文
为什么需要三角形插值？
关于直线插值在前面文章已描述过，针对三角形插值，思想也是类似。简要描述下：
如果我们知道屏幕上三角形的三个顶点各自的属性值，如何得知三角形内部覆盖所有像素位置的属性值呢？
这个问题的答案就是回答！
什么是三角形插值？
这里就用数学符号简易的描述下：
已知三角形的三个顶点 v 0 v_0 v0、 v 1 v_1 v1、 v 2 v_2 v2，每个顶点的属性值 f ( v 0 ) f(v_0) f(v0)、 f ( v 1 ) f(v_1) f(v1)、 f ( v 2 ) f(v_2) f(v2)，要求计算所有三角形内的顶点 v i n v_{in} vin的属性值 f ( v i n ) ? f(v_{in})? f(vin)?
如何进行三角形插值？
虽然可能也会有别的三角形插值算法，但是咱们重点介绍：重心坐标插值算法！
1、结论
对于三角形 △ A B C \triangle ABC △ABC 内任意一点 p p p，都存在 0 < α 、 β 、 γ < 1 且 α + β + γ = 1 0 < \alpha、\beta、\gamma < 1 且 \alpha + \beta + \gamma = 1 0<α、β、γ<1且α+β+γ=1 ，使得 f ( p ) = α f ( A ) + β f ( B ) + γ f ( C ) f(p) = \alpha f(A) + \beta f(B) + \gamma f(C) f(p)=αf(A)+βf(B)+γf(C)
为了更好的简述算法核心内容，咱们忽略三角形边界情况，也就不考虑取0和1的情况啦！
2、核心理解
通过观察上面的结论，给人的感觉就像是，只要通过三角形三个顶点属性值的加权混合，就可以获得三角形内部任何位置的顶点的属性值！
3、几何理解-重心坐标公式推导
（1）已知三角形 △ A B C \triangle ABC △ABC，其中一点 P P P 位于三角形内部
（2） 借助向量辅助推导，推导出顶点P和A、B、C的关系
∵
向量
A
B
⃗
,
A
C
⃗
线性无关
∴
一定
∃
常数
β
、
γ
使得
A
P
⃗
=
β
A
B
⃗
+
γ
A
C
⃗
∵
A
B
⃗
=
B
−
A
，
A
C
⃗
=
C
−
A
，
A
P
⃗
=
P
−
A
∴
P
−
A
=
β
(
B
−
A
)
+
γ
(
C
−
A
)
∴
P
=
(
1
−
β
−
γ
)
A
+
β
B
+
γ
C
记
α
=
1
−
β
−
γ
,
从而
∃
(
α
+
β
+
γ
=
1
)
,
使得
P
=
α
A
+
β
B
+
γ
C
\begin{aligned} &\because 向量 \vec{AB} , \vec{AC} 线性无关\\ &\therefore 一定 \exists 常数 \beta、\gamma 使得\vec{AP} = \beta\vec{AB} + \gamma\vec{AC}\\ &\because\vec{AB} = B-A，\vec{AC} = C-A，\vec{AP} = P-A\\ &\therefore P - A = \beta(B-A) + \gamma(C-A)\\ &\therefore P = (1 - \beta - \gamma)A + \beta B + \gamma C\\ &记\alpha = 1 - \beta - \gamma,从而\exists (\alpha + \beta + \gamma = 1),使得P = \alpha A + \beta B + \gamma C\\ \end{aligned}
∵向量AB,AC线性无关∴一定∃常数β、γ使得AP=βAB+γAC∵AB=B−A，AC=C−A，AP=P−A∴P−A=β(B−A)+γ(C−A)∴P=(1−β−γ)A+βB+γC记α=1−β−γ,从而∃(α+β+γ=1),使得P=αA+βB+γC
（3）接下来的关键就是求解三个常数系数：
α
\alpha
α、
β
\beta
β、
γ
\gamma
γ 的值
针对上述的 △ A B C \triangle ABC △ABC ，咱们需要作点P和点B分别到直线AC的垂线，交点分别记作 D D D 和 E E E，然后连接PC
这里分别计算
△
A
B
C
\triangle ABC
△ABC和
△
A
P
C
\triangle APC
△APC的面积：
S
A
P
C
=
0.5
∗
A
C
∗
P
D
S
A
B
C
=
0.5
∗
A
C
∗
B
E
上下两式相除，得到
:
S
A
P
C
S
A
B
C
=
P
D
B
E
记
P
D
=
h
p
，
B
E
=
h
b
S_{APC} = 0.5 * AC * PD\\ S_{ABC} = 0.5 * AC * BE\\ 上下两式相除，得到: \frac{S_{APC}}{S_{ABC}} = \frac{PD}{BE}\\ 记PD = h_p，BE = h_b
SAPC=0.5∗AC∗PDSABC=0.5∗AC∗BE上下两式相除，得到:SABCSAPC=BEPD记PD=hp，BE=hb
（4）上述的计算看似没啥用，但是我们可以联想相似三角形的知识，类比转换！
做辅助线：过P点做垂直于PD的直线 l 1 l_1 l1，交线段AB于点F。然后过点F做平行线 l 2 l_2 l2交线段AC于点G，如下图所示：
（5）向量加法几何理解突破
因为四边形PFGD是矩形，所以 P D = = F G PD == FG PD==FG，结合之前的公式： S A P C S A B C = P D B E \frac{S_{APC}}{S_{ABC}} = \frac{PD}{BE} SABCSAPC=BEPD
于是得出： S A P C S A B C = P D B E = F G B E \frac{S_{APC}}{S_{ABC}} = \frac{PD}{BE} = \frac{FG}{BE} SABCSAPC=BEPD=BEFG
又因为 △ A F G \triangle AFG △AFG 和 △ A B E \triangle ABE △ABE是相似三角形（为什么就不用多说了，初中知识），所以 F G B E = A F A B \frac{FG}{BE} = \frac{AF}{AB} BEFG=ABAF
这时候，结合开头提到的公式： A P ⃗ = β A B ⃗ + γ A C ⃗ \vec{AP} = \beta \vec{AB} + \gamma \vec{AC} AP=βAB+γAC，然后再结合向量加法的几何理解，我们可以得到 A F = β ∗ A B AF = \beta * AB AF=β∗AB，从而得到 A F A B = β \frac{AF}{AB} = \beta ABAF=β，也就得到了 β = S A P C S A B C \beta = \frac{S_{APC}}{S_{ABC}} β=SABCSAPC
（6）同理。我们也可以得到
α
\alpha
α 和
γ
\gamma
γ 的值，如下：
α
=
S
B
P
C
S
A
B
C
β
=
S
A
P
C
S
A
B
C
γ
=
S
A
P
B
S
A
B
C
\alpha = \frac{S_{BPC}}{S_{ABC}}\\ \beta = \frac{S_{APC}}{S_{ABC}}\\ \gamma = \frac{S_{APB}}{S_{ABC}}\\
α=SABCSBPCβ=SABCSAPCγ=SABCSAPB
（7）至于三角形的公式，咱们不多说，这里贴出来：
S
B
P
C
=
0.5
∗
∣
∣
P
B
⃗
×
P
C
⃗
∣
∣
S
A
P
C
=
0.5
∗
∣
∣
P
A
⃗
×
P
C
⃗
∣
∣
S
A
P
B
=
0.5
∗
∣
∣
P
A
⃗
×
P
B
⃗
∣
∣
S
A
B
C
=
0.5
∗
∣
∣
A
B
⃗
×
A
C
⃗
∣
∣
S_{BPC} = 0.5 *||\vec{PB} \times \vec{PC}||\\ S_{APC} = 0.5 *||\vec{PA} \times \vec{PC}||\\ S_{APB} = 0.5 *||\vec{PA} \times \vec{PB}||\\ S_{ABC} = 0.5 *||\vec{AB} \times \vec{AC}||\\
SBPC=0.5∗∣∣PB×PC∣∣SAPC=0.5∗∣∣PA×PC∣∣SAPB=0.5∗∣∣PA×PB∣∣SABC=0.5∗∣∣AB×AC∣∣
大功告成，希望对大家所有帮助！画图用的是在线软件：geogebra
结尾
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原文地址：https://blog.csdn.net/u010092716/article/details/139195853
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