物理学基础精解【79】

空间变换

旋转矩阵、缩放矩阵和平移矩阵

一、旋转矩阵

旋转矩阵是一种用于描述物体在三维空间中绕某一轴旋转的矩阵。根据旋转轴的不同，旋转矩阵有不同的形式。以下是绕x轴、y轴和z轴旋转的矩阵表示：

• 绕x轴旋转：

  $$R_x(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

  其中，θ表示绕x轴旋转的角度。

• 绕y轴旋转：

  $$R_y(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]$$

  其中，θ表示绕y轴旋转的角度。

• 绕z轴旋转：

  $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

  其中，θ表示绕z轴旋转的角度。

二、缩放矩阵

缩放矩阵用于描述物体在三维空间中沿各个坐标轴的缩放比例。以下是缩放矩阵的一般形式：

$$S=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& s_z\end{array}\right]$$

其中，sx、sy和sz分别表示沿x轴、y轴和z轴的缩放比例。如果sx = sy = sz，则物体均匀缩放；否则，物体将非均匀缩放。

三、净变换矩阵

净变换矩阵通常指的是包含平移、旋转和缩放等多种变换的矩阵。在计算机图形学和计算机视觉中，为了统一处理这些变换，通常会使用4x4的齐次坐标矩阵。以下是净变换矩阵的一般形式：

$$T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]$$

其中，R是一个3x3的旋转和缩放矩阵，t是一个3x1的平移向量，0是一个1x3的零向量。通过调整R和t，可以实现物体的旋转、缩放和平移变换。

在实际应用中，通常会先计算旋转和缩放矩阵的乘积，然后再与平移矩阵组合，得到最终的净变换矩阵。例如，如果物体需要先绕x轴旋转θ角度，再沿x轴缩放sx倍，最后沿x轴平移tx单位，则净变换矩阵为：

$$T=\left[\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ 0& \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

注意，这里的矩阵乘法顺序是重要的，它决定了变换的应用顺序（先旋转和缩放，后平移）。

坐标系变换矩阵

是用于描述从一个坐标系到另一个坐标系转换关系的矩阵。在计算机图形学、计算机视觉、机器人学以及物理学等领域中，坐标系变换矩阵扮演着重要角色。以下是对坐标系变换矩阵的详细解释：

一、定义与性质

坐标系变换矩阵，也称为坐标变换矩阵，是一种线性代数工具，用于将一个坐标系中的点或向量转换到另一个坐标系中。这种转换可以包括旋转、平移、缩放等多种几何变换。坐标系变换矩阵通常是一个方阵（如3x3或4x4矩阵），其元素根据具体的变换类型而定。

在数学上，如果有一个坐标系A和另一个坐标系B，以及一个点P在坐标系A中的坐标向量x，那么可以通过一个变换矩阵M将P的坐标转换到坐标系B中，得到新的坐标向量x’。即：

x’ = M * x

其中，M是坐标系A到坐标系B的变换矩阵。

二、常见类型

1. 平移变换矩阵：

   • 平移变换矩阵用于描述物体在三维空间中的平移运动。为了实现平移变换，通常需要将坐标向量扩展为齐次坐标（即在原有坐标基础上增加一个维度，通常为1）。
   • 一个3x3的平移变换矩阵无法直接表示平移，但一个4x4的齐次变换矩阵可以。其形式如下：
     $$T=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
     其中，tx、ty和tz分别表示沿x轴、y轴和z轴的平移量。

2. 旋转变换矩阵：

   • 旋转变换矩阵用于描述物体绕某一轴（如x轴、y轴或z轴）的旋转运动。
   • 绕x轴、y轴和z轴旋转的3x3矩阵形式在前面的回答中已给出，这里不再重复。

3. 缩放变换矩阵：

   • 缩放变换矩阵用于描述物体沿各个坐标轴的缩放比例。
   • 一个3x3的缩放变换矩阵形式如下：
     $$S=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& s_z\end{array}\right]$$
     其中，sx、sy和sz分别表示沿x轴、y轴和z轴的缩放比例。

三、综合变换

在实际应用中，物体可能同时经历旋转、平移和缩放等多种变换。为了统一处理这些变换，通常会使用4x4的齐次变换矩阵。一个综合变换矩阵T可以表示为旋转矩阵R、缩放矩阵S和平移矩阵T的组合，形式如下：

$$T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]$$

其中，R是一个3x3的旋转和缩放矩阵（可以先进行缩放再进行旋转），t是一个3x1的平移向量。通过调整R和t，可以实现物体的任意三维变换。

四、应用示例

在计算机图形学中，坐标系变换矩阵常用于将三维模型从模型坐标系转换到世界坐标系、视图坐标系和投影坐标系中，以实现模型的渲染和显示。此外，在机器人学、计算机视觉和物理学等领域中，坐标系变换矩阵也发挥着重要作用。

五、总结

坐标系变换矩阵是一种强大的数学工具，能够描述物体在三维空间中的旋转、平移和缩放等多种变换。通过理解和应用坐标系变换矩阵，可以实现对物体在不同坐标系之间的高效转换和处理。

结构变形变换矩阵

是一种用于描述结构在受到外力或其他作用时发生的形状和位置变化的数学工具。这种矩阵在计算机图形学、计算机辅助设计、机器人学以及结构力学等领域中都有广泛的应用。以下是对结构变形变换矩阵的详细解释：

一、定义与性质

结构变形变换矩阵是一种能够反映结构变形前后坐标变化的矩阵。它通常是一个方阵，矩阵的元素表示了变形前后对应坐标点之间的映射关系。结构变形变换矩阵具有可逆性、结合律和分解性等重要性质，这些性质使得它在实际应用中能够方便地进行变形计算和分析。

二、类型与构造

结构变形变换矩阵的类型和构造方式取决于具体的变形情况。常见的变形类型包括平移、旋转、缩放、剪切和弯曲等。对于每种变形，都可以构造出相应的变形变换矩阵。例如，平移变换矩阵是一个对角线上为1，其余元素为平移量的矩阵；旋转变换矩阵则是一个正交矩阵，其元素由旋转角度和旋转轴决定。

三、应用领域

1. 计算机图形学：在计算机图形学中，结构变形变换矩阵用于实现3D物体的变形和动画效果。通过对物体的顶点坐标应用变形变换矩阵，可以方便地实现物体的平移、旋转、缩放、剪切等变形操作。

2. 计算机辅助设计：在CAD领域，结构变形变换矩阵用于对设计对象进行快速调整和修改。设计师可以通过对变形变换矩阵的操控，实现对设计对象的精确控制，提高设计效率。

3. 机器人学：在机器人学中，结构变形变换矩阵用于描述机器人在三维空间中的运动和姿态变换。通过对机器人各个关节的变形变换矩阵进行组合，可以得到机器人末端执行器的位置和姿态。

4. 结构力学：在结构力学中，虽然通常使用刚度矩阵等工具来分析结构的变形和应力状态，但结构变形变换矩阵也可以用于描述结构在受到外力作用下的变形情况。通过对比变形前后的坐标变化，可以评估结构的稳定性和安全性。

四、构造方法

构造结构变形变换矩阵的方法通常包括以下几种：

1. 直接构造法：根据具体的变形类型和变形参数，直接构造出相应的变形变换矩阵。例如，对于平移变形，可以直接构造出平移变换矩阵。

2. 插值法：在已知某些关键点的变形情况下，可以通过插值方法构造出整个结构的变形变换矩阵。这种方法常用于实现平滑的变形效果。

3. 优化算法：在某些复杂情况下，可以通过优化算法来求解结构变形变换矩阵。例如，在机器人学中，可以通过最小化末端执行器位置误差来求解各个关节的变形变换矩阵。

五、实例分析

以一个简单的二维平移变形为例，假设一个点P在变形前的坐标为(x, y)，平移向量为(tx, ty)，则变形后的坐标(x’, y’)可以通过以下变换矩阵得到：

$$T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& tx\\ 0& 1& ty\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

通过矩阵乘法运算，可以得到变形后的坐标：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=T\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& tx\\ 0& 1& ty\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+tx\\ y+ty\\ 1\end{array}\right]$$

这个例子展示了结构变形变换矩阵在描述物体变形方面的基本应用。

综上所述，结构变形变换矩阵是一种重要的数学工具，它能够精确地描述结构在受到外力或其他作用时发生的形状和位置变化。通过合理构造和应用结构变形变换矩阵，可以实现对结构变形的高效计算和分析。

参考文献

1. 文心一言

原文地址：https://blog.csdn.net/sakura_sea/article/details/142877937

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