基于Matlab实现A*算法

基于Matlab实现A*算法

算法介绍

• A*算法最初发表于1968年，由Stanford研究院的Peter Hart, Nils Nilsson以及Bertram
  Raphael发表。它可以被认为是Dijkstra算法的扩展。

$F(n)=G(n)+H(n)$
F(n)是节点n的综合优先级。当我们选择下一个要遍历的节点时，我们总会选取综合优先级最高（值最小）的节点。
G(n)是节点n距离起点的代价。
H(n)是节点n距离终点的预计代价，这也就是A*算法的启发函数。

• 启发函数
  • 在极端情况下，当启发函数H(n)始终为0，则将由G(n)决定节点的优先级，此时算法就退化成了Dijkstra算法。
  • 如果H(n)始终小于等于节点n到终点的代价，则A*算法保证一定能够找到最短路径。但是当H(n)的值越小，算法将遍历越多的节点，也就导致算法越慢。
  • 如果H(n)完全等于节点n到终点的代价，则A*算法将找到最佳路径，并且速度很快。可惜的是，并非所有场景下都能做到这一点。因为在没有达到终点之前，我们很难确切算出距离终点还有多远。
  • 如果H(n)的值比节点n到终点的代价要大，则A*算法不能保证找到最短路径，不过此时会很快。
  • 在另外一个极端情况下，如果H(n)相较于G(n)大很多，则此时只有H(n)产生效果，这也就变成了最佳优先搜索。
    由上面这些信息我们可以知道，通过调节启发函数我们可以控制算法的速度和精确度。因为在一些情况，我们可能未必需要最短路径，而是希望能够尽快找到一个路径即可。这也是A*算法比较灵活的地方。

A*算法和Dijkstra算法对比

• 两种算法均为静态规划算法(外界环境不变，计算最短路径)。
• Dijkstra算法计算源点到其他所有点的最短路径长度，A*关注点到点的最短路径(包括具体路径)。
• Dijkstra算法建立在较为抽象的图论层面，A*算法可以更轻松地用在诸如游戏地图寻路中。
• Dijkstra算法的实质是广度优先搜索(因为在搜索到目标点之前，搜索了所有可能的点)，是一种发散式的搜索，所以空间复杂度和时间复杂度都比较高。对路径上的当前点，A*算法不但记录其到源点的代价，还计算当前点到目标点的期望代价，是一种启发式算法，也可以认为是一种深度优先的算法。
• 由第一点，当目标点很多时，A*算法会带入大量重复数据和复杂的估价函数，所以如果不要求获得具体路径而只比较路径长度时，Dijkstra算法会成为更好的选择。
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参考

[1] https://paul.pub/a-star-algorithm/

• 初始化open_set和close_set；

• 将起点加入open_set中，并设置优先级为0（优先级最高）；

• 如果open_set不为空，则从open_set中选取优先级最高的节点n：

  • 如果节点n为终点，则：
    • 从终点开始逐步追踪parent节点，一直达到起点；
    • 返回找到的结果路径，算法结束；
  • 如果节点n不是终点，则：
    • 将节点n从open_set中删除，并加入close_set中；
    • 遍历节点n所有的邻近节点：
      • 如果邻近节点m在close_set中，则：
        • 跳过，选取下一个邻近节点
      • 如果邻近节点m也不在open_set中，则：
        • 设置节点m的parent为节点n
        • 计算节点m的优先级
        • 将节点m加入open_set中

• A. 把起点加入 open list 。

• B. 重复如下过程：

  • a. 遍历 open list ，查找 F 值最小的节点，把它作为当前要处理的节点。
  • b. 把这个节点移到 close list 。
  • c. 对当前方格的 8 个相邻方格的每一个方格？
    • 如果它是不可抵达的或者它在 close list 中，忽略它。否则，做如下操作。
    • 如果它不在 open list 中，把它加入 open list ，并且把当前方格设置为它的父亲，记录该方格的 F ， G 和 H 值。
    • 如果它已经在 open list 中，检查这条路径 ( 即经由当前方格到达它那里 ) 是否更好，用 G 值作参考。更小的 G 值表示这是更好的路径。如果是这样，把它的父亲设置为当前方格，并重新计算它的 G 和 F 值。如果你的 open list 是按 F 值排序的话，改变后你可能需要重新排序。
      (与上述算法的不同之处)
  • d. 停止，当你
    • 把终点加入到了 open list 中，此时路径已经找到了，或者
    • 查找终点失败，并且 open list 是空的，此时没有路径。

• D. 保存路径。从终点开始，每个方格沿着父节点移动直至起点，这就是你的路径。

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