(自用复习题)常微分方程02
题目来源
常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社
书中习题2.1
1.求下列方程的解
- d y d x = 1 + y 2 x y + x 3 y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1+y^2}{xy+x^3y} dxdy=xy+x3y1+y2
变量分离
y 1 + y 2 d y = d x x ( 1 + x 2 ) \frac{y}{1+y^2}\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}x}{x(1+x^2)} 1+y2ydy=x(1+x2)dx
两边积分
1 2 ∫ 1 1 + y 2 d ( y 2 ) = − 1 2 ∫ 1 ( 1 x 2 + 1 ) d ( 1 x 2 ) \frac{1}{2}\int\frac{1}{1+y^2}\mathrm{d}(y^2) =-\frac{1}{2}\int\frac{1}{(\frac{1}{x^2}+1)}\mathrm{d}\Big(\frac{1}{x^2}\Big) 21∫1+y21d(y2)=−21∫(x21+1)1d(x21)
1 2 ln ∣ 1 + y 2 ∣ = − 1 2 ln ∣ 1 + 1 x 2 ∣ + c 1 \frac{1}{2}\ln|1+y^2|=-\frac{1}{2}\ln\bigg|1+\frac{1}{x^2}\bigg|+c_1 21ln∣1+y2∣=−21ln 1+x21 +c1
通解为
( 1 + y 2 ) ( 1 + 1 x 2 ) = c (1+y^2)(1+\frac{1}{x^2})=c (1+y2)(1+x21)=c
- ( y + x ) d y + ( x − y ) d x = 0 (y+x)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}x=0 (y+x)dy+(x−y)dx=0
书上给的六个简单二元函数的全微分之一
− y d x + x d y x 2 = d ( y x ) \frac{-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y}{x^2}= \mathrm{d}\bigg(\frac{y}{x}\bigg) x2−ydx+xdy=d(xy)
原方程可变为
1 2 d ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) y d x − x d y x 2 + y 2 = 0 \frac{1}{2}\mathrm{d}(x^2+y^2)+(x^2+y^2)\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}=0 21d(x2+y2)+(x2+y2)x2+y2ydx−xdy=0
d ( x 2 + y 2 ) 2 ( x 2 + y 2 ) + d ( y x ) 1 + ( y x ) 2 = 0 \frac{\mathrm{d}(x^2+y^2)}{2(x^2+y^2)}+ \frac{\mathrm{d}(\frac{y}{x})}{1+(\frac{y}{x})^2}=0 2(x2+y2)d(x2+y2)+1+(xy)2d(xy)=0
1 2 ln ( x 2 + y 2 ) + arctan y x = c \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+\arctan\frac{y}{x}=c 21ln(x2+y2)+arctanxy=c
- x d y d x − y + x 2 − y 2 = 0 x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y+\sqrt{x^2-y^2}=0 xdxdy−y+x2−y2=0
x d y − y d x + x 2 − y 2 d x = 0 x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x+\sqrt{x^2-y^2}\mathrm{d}x=0 xdy−ydx+x2−y2dx=0
当 y 2 ≠ x 2 y^2\neq x^2 y2=x2 时
x d y − y d x x 2 − y 2 + d x = 0 \frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-y^2}}+\mathrm{d}x=0 x2−y2xdy−ydx+dx=0
d ( y x ) 1 − ( y x ) 2 + 1 x d x = 0 \frac{\mathrm{d}(\frac{y}{x})}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^2}}+ \frac{1}{x}\mathrm{d}x=0 1−(xy)2d(xy)+x1dx=0
arcsin y x + ln ∣ x ∣ = c \arcsin\frac{y}{x}+\ln|x|=c arcsinxy+ln∣x∣=c
另外，代入验证得 y 2 = x 2 y^2=x^2 y2=x2 也是方程的解
- x ( ln x − ln y ) d y − y d x = 0 x(\ln x-\ln y)\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x=0 x(lnx−lny)dy−ydx=0
d x d y = x y ln x y \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x}{y}\ln{\frac{x}{y}} dydx=yxlnyx
令 u = x y u=\frac{x}{y} u=yx ，即 x = y u x=yu x=yu ，则原方程变为 u + y d u d y = u ln u u+y\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=u\ln u u+ydydu=ulnu ，即
d u u ( ln u − 1 ) = d y y \frac{\mathrm{d}u}{u(\ln u-1)}=\frac{\mathrm{d}y}{y} u(lnu−1)du=ydy
ln ( ln u − 1 ) = ln y + c \ln(\ln u-1)=\ln y +c ln(lnu−1)=lny+c
ln u − 1 = c y \ln u-1=cy lnu−1=cy
即
ln x y − 1 = c y \ln\frac{x}{y}-1=cy lnyx−1=cy
原文地址：https://blog.csdn.net/HEHEE1029/article/details/142699493
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