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【信号与系统第六章】15、用拉普拉斯变换解微分方程

🕗 发布于 2024-10-07 15:59 学习  dsp开发  

一、常微分方程的三种表达形式

1、公式形式

2、拉氏变换表达

3、框图表示

对于a_{2}{y}''+a_{1}{y}'+a_{0}y=b_{2}{x}''+b_{1}{x}'+b_{0}x

若令 x=a_{2}{\omega }''+a_{1}{\omega }'+a_{0}\omega\begin{matrix} & & \end{matrix}

则     y=b_{2}{\omega }''+b_{1}{\omega }'+b_{0}\omega

对于式 x=a_{2}{\omega }''+a_{1}{\omega }'+a_{0}\omega\begin{matrix} & & \end{matrix}，画成框图形式为：

再将式  y=b_{2}{\omega }''+b_{1}{\omega }'+b_{0}\omega 加到图中：

例题

（1）

（2）

（3）

（4）

注：框图中的\int可以用\frac{1}{s}代替，原因如下：

（5）

（6）

串联型框图

并联型框图

求解常微分方程题型一

题型一题目（1）

题型一题目（2）

求解常微分方程题型二

题型二题目（1）

补充定理及其证明

题型二题目（2）

求解常微分方程题型三

补充知识一：单边拉氏变换

因果信号的单边拉氏变换等于其拉氏变换

非因果信号的单边拉氏变换不等于其拉氏变换，举例如下：

单边拉氏变换的时域微分性质

可推出：

补充知识二：零输入响应和零状态响应

全响应等于零输入响应加零状态响应。

零输入响应是系统再t>0之后没有输入，响应仅有零时刻之前系统中的存量决定。

零状态响应是在零时刻时系统的存量为0，系统的响应仅有输入决定。

由于LTI系统的线性时不变性，系统的全响应等于零输入响应加零状态响应。

补充知识结束

题型三题目（1）

上题可分解为两道题：

y(t)=y_{zs}(t)+y_{zi}(t)

全响应等于零输入响应加零状态响应，也可以分为自由响应和强迫响应。自由响应是由系统的极点决定的，强迫响应是由输入的极点决定的。

题型三题目（2）


原文地址：https://blog.csdn.net/m0_56997192/article/details/142729111

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