物理学基础精解【80】

随机过程

离散随机过程的自相关函数和协方差函数

在随机信号处理中具有重要意义，它们用于描述随机过程的统计特性，特别是过程中的时间相关性。

1. 自相关函数（Autocorrelation Function）

对于一个离散随机过程 { X t } \{X_t\} {Xt​}，自相关函数描述了该过程在不同时间点的信号之间的相互依赖程度。给定两个时间点$t_1$和$t_2$，自相关函数定义为：

$$R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}[X_{t_1}{X}_{t_2}]$$

其中：
-$\mathbb{E}[\cdot ]$表示期望。
-$X_{t_1}$和$X_{t_2}$是随机过程在时刻$t_1$和$t_2$的值。

自相关函数的性质：

• 对称性：$R_X(t_1,t_2)=R_X(t_2,t_1)$。
• 最大值：$R_X(t,t)$是自相关函数的最大值，表示在同一时刻的信号相关性，通常是信号的能量或方差。

如果过程是平稳的（即统计特性不随时间变化），则自相关函数仅取决于时间差$\tau =t_2-t_1$：

$$R_X(\tau )=\mathbb{E}[X_t{X}_{t+\tau }]$$

此时，自相关函数仅与两个时刻之间的时间差有关，而与时间的绝对值无关。

2. 协方差函数（Covariance Function）

协方差函数则是自相关函数与随机过程的均值之间的关系。对于一个离散随机过程 { X t } \{X_t\} {Xt​}，其协方差函数定义为：

$$\text{Cov}(X_{t_1},X_{t_2})=\mathbb{E}[(X_{t_1}-\mathbb{E}[X_{t_1}])(X_{t_2}-\mathbb{E}[X_{t_2}])]$$

它表示在两个时间点上，过程的偏离均值的相关性。如果过程是平稳的，则协方差函数为：

$$\text{Cov}(X_t,X_{t+\tau })=\mathbb{E}[(X_t-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]$$

其中$\mu =\mathbb{E}[X_t]$是过程的均值。协方差函数也仅取决于时间差$\tau$。

协方差函数的性质：

• 对称性：$\text{Cov}(X_{t_1},X_{t_2})=\text{Cov}(X_{t_2},X_{t_1})$。
• 当$t_1=t_2$时，协方差函数变为该时间点上的方差：$\text{Var}(X_t)=\text{Cov}(X_t,X_t)$。
• 当两个时间点上的信号独立时，协方差函数为 0。

自相关函数与协方差函数的关系

自相关函数和协方差函数之间的关系可以通过均值$\mu =\mathbb{E}[X_t]$来表示。如果过程的均值为零，即$\mathbb{E}[X_t]=0$，则自相关函数和协方差函数是相同的：

$$R_X(t_1,t_2)=\text{Cov}(X_{t_1},X_{t_2})$$

对于非零均值的过程，它们之间的关系为：

$$R_X(t_1,t_2)=\text{Cov}(X_{t_1},X_{t_2})+\mathbb{E}[X_{t_1}]\mathbb{E}[X_{t_2}]$$

总结

• 自相关函数：描述随机过程不同时间点的相关性，特别是反映随机过程在时间上的结构。
• 协方差函数：描述偏离均值后的相关性，反映了信号的波动和波动间的关系。

随机过程的期望（expectation）

是描述随机过程整体特性的一个重要统计量。对于随机过程 { X t } t ∈ T \{X_t\}_{t \in T} {Xt​}t∈T​，期望描述了在每个时间点上该过程的平均值或中心趋势。

1. 随机过程的定义

一个随机过程 { X t } t ∈ T \{X_t\}_{t \in T} {Xt​}t∈T​ 是一个定义在某个概率空间上的一族随机变量，其中 $t$ 是时间参数，可能是离散的（如 $t\in \mathbb{Z}$）或连续的（如 $t\in \mathbb{R}$）。

对于每个时间点 $t$， $X_t$ 是一个随机变量。因此，随机过程可以看作是一组随机变量随时间变化的集合。

2. 随机过程的期望

随机过程在每个时间点的期望，即其平均值，定义为：

$$\mathbb{E}[X_t]={\int }_{\Omega }{X}_t(\omega )P(d\omega )$$

其中：

• $\mathbb{E}[\cdot ]$ 表示期望运算；
• $X_t(\omega )$ 是随机过程在时间 $t$ 时的取值；
• $P(d\omega )$ 是概率测度，定义了样本空间 $\Omega$ 上的概率分布。

随机过程的期望函数是一个关于时间 $t$ 的函数，描述了在每个时间点上随机变量 $X_t$ 的期望值。

3. 平稳随机过程的期望

如果随机过程是平稳的，即它的统计特性不随时间变化，则该过程在所有时间点上的期望相同：

$$\mathbb{E}[X_t]=\mu \forall t\in T$$

其中 $\mu$ 是平稳过程的常数期望值。

4. 随机过程期望的例子

• 离散时间随机过程：对于一个离散时间随机过程 { X n } \{X_n\} {Xn​}， $n\in \mathbb{Z}$，期望为：

  $$\mathbb{E}[X_n]=\sum _{x}xP(X_n=x)$$

  这里 $P(X_n=x)$ 是随机变量 $X_n$ 取值为 $x$ 的概率。

• 连续时间随机过程：对于连续时间随机过程 { X t } \{X_t\} {Xt​}， $t\in \mathbb{R}$，期望为：

  $$\mathbb{E}[X_t]={\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_{X_t}(x)dx$$

  这里 $f_{X_t}(x)$ 是随机变量 $X_t$ 的概率密度函数。

5. 条件期望

随机过程的条件期望是在给定某些信息的情况下，对随机过程的期望值进行估计。设 ${\mathcal{F}}_t$ 是表示时间 $t$ 之前的信息的一个 $\sigma$-代数，那么条件期望 $\mathbb{E}[X_{t+h}|{\mathcal{F}}_t]$ 是在已知时间 $t$ 时刻的信息下，对 $t+h$ 时刻随机变量 $X_{t+h}$ 的期望估计。

6. 随机过程期望的作用

随机过程的期望通常用于描述该过程的均值行为，帮助我们了解随机过程随时间演化的趋势。对于平稳过程，期望是一个常数，而对于非平稳过程，期望可能是时间的函数，这意味着过程在不同时间点有不同的中心趋势。

总结起来，随机过程的期望为我们提供了对过程的平均行为或趋势的理解，在随机信号处理、时间序列分析等应用中起到重要作用。

参考文献

1. chagpt

原文地址：https://blog.csdn.net/sakura_sea/article/details/142879782

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