代码随想录学习 54day 图论 A star算法

A * 算法精讲 （A star算法）

卡码网：126. 骑士的攻击

题目描述

在象棋中，马和象的移动规则分别是“马走日”和“象走田”。现给定骑士的起始坐标和目标坐标，要求根据骑士的移动规则，计算从起点到达目标点所需的最短步数。

棋盘大小 1000 x 1000（棋盘的 x 和 y 坐标均在 [1, 1000] 区间内，包含边界）

输入描述

第一行包含一个整数 n，表示测试用例的数量。

接下来的 n 行，每行包含四个整数 a1, a2, b1, b2，分别表示骑士的起始位置 (a1, a2) 和目标位置 (b1, b2)。

输出描述

输出共 n 行，每行输出一个整数，表示骑士从起点到目标点的最短路径长度。

输入示例

6
5 2 5 4
1 1 2 2
1 1 8 8
1 1 8 7
2 1 3 3
4 6 4 6
输出示例

2
4
6
5
1
0

思路

我们看到这道题目的第一个想法就是广搜，这也是最经典的广搜类型题目。

这里我直接给出广搜的C++代码：

code c++ 超时

#include<iostream>
#include<queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2]={-2,-1,-2,1,-1,2,1,2,2,1,2,-1,1,-2,-1,-2};
void bfs(int a1,int a2, int b1, int b2)
{
queue<int> q;
q.push(a1);
q.push(a2);
while(!q.empty())
{
int m=q.front(); q.pop();
int n=q.front(); q.pop();
if(m == b1 && n == b2)
break;
for(int i=0;i<8;i++)
{
int mm=m + dir[i][0];
int nn=n + dir[i][1];
if(mm < 1 || mm > 1000 || nn < 1 || nn > 1000)
continue;
if(!moves[mm][nn])
{
moves[mm][nn]=moves[m][n]+1;
q.push(mm);
q.push(nn);
}
}
}
}

int main()
{
    int n, a1, a2, b1, b2;
    cin >> n;
    while (n--) {
        cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
        memset(moves,0,sizeof(moves));
bfs(a1, a2, b1, b2);
cout << moves[b1][b2] << endl;
}
return 0;
}

code python 1

from collections import deque
def bfs(points):
    start = points[:2]
    end = points[-2:]
    if start == end:return 0
    grid = [[0  for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
    visited = [[False for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
    que = deque([start])
    visited[start[0]][start[1]] = True

    dir = [[-1, -2],[ -2, -1], [-2, 1], [-1, 2], [1, 2], [2, 1],[ 2, -1], [1, -2]]
    counts = 0
    while que:
        counts += 1
        lens = len(que)
        for _ in range(lens):
            point = que.popleft()
            # print('\n', point)
            for i in range(len(dir)):
                nextx = point[0] + dir[i][0]
                nexty = point[1] + dir[i][1]
                if visited[nextx][nexty] or nextx < 1 or nexty < 1 or nextx > 1000 or nexty > 1000:continue
                else:
                    visited[nextx][nexty] = True
                    grid[nextx][nexty] = counts
                    # print(nextx, nexty, counts)
                if nextx == end[0] and nexty == end[1]:
                    return counts
                else:
                    que.append([nextx, nexty])



from collections import deque
print('xxxxxxxx')
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]

for points in memsets:
    res = bfs(points)
    print(points, res)

code python 2

from collections import deque
def bfs(points):
    start = points[:2]
    end = points[-2:]
    if start == end:return 0
    grid = [[-1  for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
    que = deque([start])
    grid[start[0]][start[1]] = 0

    dir = [[-1, -2],[ -2, -1], [-2, 1], [-1, 2], [1, 2], [2, 1],[ 2, -1], [1, -2]]
    counts = 0
    while que:
        counts += 1
        lens = len(que)
        for _ in range(lens):
            point = que.popleft()
            # print('\n', point)
            for i in range(len(dir)):
                nextx = point[0] + dir[i][0]
                nexty = point[1] + dir[i][1]
                if grid[nextx][nexty]!=-1 or nextx < 1 or nexty < 1 or nextx > 1000 or nexty > 1000:continue
                else:
                    grid[nextx][nexty] = counts
                    # print(nextx, nexty, counts)
                if nextx == end[0] and nexty == end[1]:
                    return counts
                else:
                    que.append([nextx, nexty])



from collections import deque
print('xxxxxxxx')
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]

for points in memsets:
    res = bfs(points)
    print(points, res)

code python 3

## 20240717 code
from collections import deque

def bfs(points, grid):
    start = points[:2]
    end = points[-2:]
    # grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
    grid[start[0]][start[1]] = 0
    offsets = [[-2, -1], [-2, 1], [2, -1], [2, 1], [1, -2], [1, 2], [-1, -2], [-1, 2]]  # 8个可以移动的offset
    ## 初始化， 进入队列
    que = deque([start])
    counts = 0  # 统计走了几步到达目标点
    while que:
        node = que.popleft()  # 取出元素
        counts += 1
        if node[0] == end[0]  and node[1] == end[1]:
            print(f'counts"{counts}')
            break  #　找到终点了  因为是先赋值， 后判断
        for i in range(8):    # 8个可以移动的offset
            nextx = node[0] + offsets[i][0]
            nexty = node[1] + offsets[i][1]

            # 索引的合法性进行判断
            if nextx < 1 or nexty < 1 or nextx > 1000 or nexty > 1000: continue
            # 如果grid没有被访问过
            if grid[nextx][nexty] == -1:
                # 数值在node 的 基础上 + 1
                grid[nextx][nexty] = grid[node[0]][node[1]] + 1
                # 该位置放入 que  广度搜索
                que.append([nextx, nexty])


memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
for points in memsets:
    grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
    bfs(points, grid)
    print(points, grid[points[-2]][points[-1]]) # 终点的值

# 但是这个代码的计算量很大，

"""
counts"12
[5, 2, 5, 4] 2
counts"35
[1, 1, 2, 2] 4
counts"93
[1, 1, 8, 8] 6
counts"78
[1, 1, 8, 7] 5
counts"3
[2, 1, 3, 3] 1
counts"1
[4, 6, 4, 6] 0
"""

提交后，大家会发现，超时了。

因为本题地图足够大，且 n 也有可能很大，导致有非常多的查询。

我们来看一下广搜的搜索过程，如图，红色是起点，绿色是终点，黄色是要遍历的点，最后从 起点 找到 达到终点的最短路径是棕色。

可以看出 广搜中，做了很多无用的遍历， 黄色的格子是广搜遍历到的点。

这里我们能不能让遍历方向，向这终点的方向去遍历呢？

这样我们就可以避免很多无用遍历。

Astar

Astar 是一种 广搜的改良版。 有的是 Astar 是 dijkstra 的改良版。

其实只是场景不同而已 我们在搜索最短路的时候， 如果是无权图（边的权值都是1） 那就用广搜，代码简洁，时间效率和 dijkstra 差不多 （具体要取决于图的稠密）

如果是有权图（边有不同的权值），优先考虑 dijkstra。

而 Astar 关键在于 启发式函数， 也就是 影响 广搜或者 dijkstra 从 容器（队列）里取元素的优先顺序。

以下，我用BFS版本的A * 来进行讲解。

在BFS中，我们想搜索，从起点到终点的最短路径，要一层一层去遍历。

如果使用 A* 的话，其搜索过程是这样的，如图，图中着色的都是我们要遍历的点。

（上面两图中 最短路长度都是8，只是走的方式不同而已）

大家可以发现 BFS 是没有目的性的 一圈一圈去搜索， 而 A * 是有方向性的去搜索。

看出 A * 可以节省很多没有必要的遍历步骤。

为了让大家可以明显看到区别，我将 BFS 和 A * 制作成可视化动图，大家可以自己看看动图，效果更好。

地址：https://kamacoder.com/tools/knight.html

那么 A * 为什么可以有方向性的去搜索，它是如何知道方向呢？

其关键在于 启发式函数。

那么 启发式函数 落实到代码处，如果指引搜索的方向？

在本篇开篇中给出了BFS代码，指引 搜索的方向的关键代码在这里：

int m=q.front();q.pop();

int n=q.front();q.pop();

从队列里取出什么元素，接下来就是从哪里开始搜索。

所以 启发式函数 要影响的就是队列里元素的排序！

这是影响BFS搜索方向的关键。

对队列里节点进行排序，就需要给每一个节点权值，如何计算权值呢？

每个节点的权值为F，给出公式为：F = G + H

G：起点达到目前遍历节点的距离

F：目前遍历的节点到达终点的距离

起点达到目前遍历节点的距离 + 目前遍历的节点到达终点的距离 就是起点到达终点的距离。

本题的图是无权网格状，在计算两点距离通常有如下三种计算方式：

曼哈顿距离，计算方式： d = abs(x1-x2)+abs(y1-y2)

欧氏距离（欧拉距离） ，计算方式：d = sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 )

切比雪夫距离，计算方式：d = max(abs(x1 - x2), abs(y1 - y2))

x1, x2 为起点坐标，y1, y2 为终点坐标 ，abs 为求绝对值，sqrt 为求开根号，

选择哪一种距离计算方式 也会导致 A * 算法的结果不同。

本题，采用欧拉距离才能最大程度体现 点与点之间的距离。

所以 使用欧拉距离计算 和 广搜搜出来的最短路的节点数是一样的。 （路径可能不同，但路径上的节点数是相同的）

我在制作动画演示的过程中，分别给出了曼哈顿、欧拉以及契比雪夫 三种计算方式下，A * 算法的寻路过程，大家可以自己看看看其区别。

动画地址：https://kamacoder.com/tools/knight.html

计算出来 F 之后，按照 F 的 大小，来选去出队列的节点。

可以使用 优先级队列 帮我们排好序，每次出队列，就是F最小的节点。

实现代码如下：（启发式函数 采用 欧拉距离计算方式）

code c++

#include<iostream>
#include<queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2]={-2,-1,-2,1,-1,2,1,2,2,1,2,-1,1,-2,-1,-2};
int b1, b2;
// F = G + H
// G = 从起点到该节点路径消耗
// H = 该节点到终点的预估消耗

struct Knight{
    int x,y;
    int g,h,f;
    bool operator < (const Knight & k) const{  // 重载运算符， 从小到大排序
     return k.f < f;
    }
};

priority_queue<Knight> que;

int Heuristic(const Knight& k) { // 欧拉距离
    return (k.x - b1) * (k.x - b1) + (k.y - b2) * (k.y - b2); // 统一不开根号，这样可以提高精度
}
void astar(const Knight& k)
{
    Knight cur, next;
que.push(k);
while(!que.empty())
{
cur=que.top(); que.pop();
if(cur.x == b1 && cur.y == b2)
break;
for(int i = 0; i < 8; i++)
{
next.x = cur.x + dir[i][0];
next.y = cur.y + dir[i][1];
if(next.x < 1 || next.x > 1000 || next.y < 1 || next.y > 1000)
continue;
if(!moves[next.x][next.y])
{
moves[next.x][next.y] = moves[cur.x][cur.y] + 1;

                // 开始计算F
next.g = cur.g + 5; // 统一不开根号，这样可以提高精度，马走日，1 * 1 + 2 * 2 = 5
                next.h = Heuristic(next);
                next.f = next.g + next.h;
                que.push(next);
}
}
}
}

int main()
{
    int n, a1, a2;
    cin >> n;
    while (n--) {
        cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
        memset(moves,0,sizeof(moves));
        Knight start;
        start.x = a1;
        start.y = a2;
        start.g = 0;
        start.h = Heuristic(start);
        start.f = start.g + start.h;
astar(start);
        while(!que.empty()) que.pop(); // 队列清空
cout << moves[b1][b2] << endl;
}
return 0;
}

复杂度分析

A * 算法的时间复杂度 其实是不好去量化的，因为他取决于 启发式函数怎么写。

最坏情况下，A * 退化成广搜，算法的时间复杂度 是 O(n * 2)，n 为节点数量。

最佳情况，是从起点直接到终点，时间复杂度为 O(dlogd)，d 为起点到终点的深度。

因为在搜索的过程中也需要堆排序，所以是 O(dlogd)。

实际上 A * 的时间复杂度是介于 最优 和最坏 情况之间， 可以 非常粗略的认为 A * 算法的时间复杂度是 O(nlogn) ，n 为节点数量。

A * 算法的空间复杂度 O(b ^ d) ,d 为起点到终点的深度，b 是 图中节点间的连接数量，本题因为是无权网格图，所以 节点间连接数量为 4。

拓展

如果本题大家使用 曼哈顿距离 或者 切比雪夫距离 计算的话，可以提交试一试，有的最短路结果是并不是最短的。

原因也是 曼哈顿 和 切比雪夫这两种计算方式在 本题的网格地图中，都没有体现出点到点的真正距离！

可能有些录友找到类似的题目，例如 poj 2243 (opens new window)，使用 曼哈顿距离 提交也过了， 那是因为题目中的地图太小了，仅仅是一张 8 * 8的地图，根本看不出来 不同启发式函数写法的区别。

A * 算法 并不是一个明确的最短路算法，A * 算法搜的路径如何，完全取决于 启发式函数怎么写。

A * 算法并不能保证一定是最短路，因为在设计 启发式函数的时候，要考虑 时间效率与准确度之间的一个权衡。

虽然本题中，A * 算法得到是最短路，也是因为本题 启发式函数 和 地图结构都是最简单的。

例如在游戏中，在地图很大、不同路径权值不同、有障碍 且多个游戏单位在地图中寻路的情况，如果要计算准确最短路，耗时很大，会给玩家一种卡顿的感觉。

而真实玩家在玩游戏的时候，并不要求一定是最短路，次短路也是可以的 （玩家不一定能感受出来，及时感受出来也不是很在意），只要奔着目标走过去 大体就可以接受。

所以 在游戏开发设计中，保证运行效率的情况下，A * 算法中的启发式函数 设计往往不是最短路，而是接近最短路的 次短路设计。

大家如果玩 LOL，或者 王者荣耀 可以回忆一下：如果 从很远的地方点击 让英雄直接跑过去 是 跑的路径是不靠谱的，所以玩家们才会在 距离英雄尽可能近的位置去点击 让英雄跑过去。

A * 的缺点

大家看上述 A * 代码的时候，可以看到 我们想 队列里添加了很多节点，但真正从队列里取出来的 仅仅是 靠启发式函数判断 距离终点最近的节点。

相对了 普通BFS，A * 算法只从 队列里取出 距离终点最近的节点。

那么问题来了，A * 在一次路径搜索中，大量不需要访问的节点都在队列里，会造成空间的过度消耗。

IDA * 算法 对这一空间增长问题进行了优化，关于 IDA * 算法，本篇不再做讲解，感兴趣的录友可以自行找资料学习。

另外还有一种场景 是 A * 解决不了的。

如果题目中，给出 多个可能的目标，然后在这多个目标中 选择最近的目标，这种 A * 就不擅长了， A * 只擅长给出明确的目标 然后找到最短路径。

如果是多个目标找最近目标（特别是潜在目标数量很多的时候），可以考虑 Dijkstra ，BFS 或者 Floyd。

python 双端队列 例子1

class Knight:
    def __init__(self,k, point):
        self.k = k
        self.point = point
    def __lt__(self, other):
        return self.k < other.k

from queue import PriorityQueue
c1 = Knight(5, (2,4))
c2 = Knight(10, (3,7))
c3 = Knight(2, (2,1))

que = PriorityQueue()
que.put(c1)
que.put(c2)
que.put(c3)
while que:
    c = que.get()
    print(c.k, c.point)

python 双端队列 例子2

## 20240716
class Knight:
    def __init__(self,point, k):
        self.k = k
        self.point = point
    def __lt__(self, other):
        return self.k < other.k

from queue import PriorityQueue
c1 = Knight(5, (2,4))
c2 = Knight(10, (3,7))
c3 = Knight(2, (2,1))

que = PriorityQueue()
que.put(c1)
que.put(c2)
que.put(c3)
while que:
    c = que.get()
    print(c.k, c.point)

# 两个例子一样的效果

python 双端队列 例子2

## 20240717

from queue import PriorityQueue

class Knight:
    def __init__(self, x, y, g, h, f):
        self.x = x
        self.y = y
        self.g = g
        self.h = h
        self.f = f

    def __lt__(self, other):
        return self.f < other.f  # 重载运算符， 从小到大排序

def Heuristic(mid, end):    # 欧拉距离
    k = Knight(mid[0], mid[1], 0,0,0)
    b1, b2 = end
    return (k.x - b1) * (k.x-b1) + (k.y - b2) * (k.y - b2)  # 统一不开根号，这样可以提高精度

c1 = Knight(1, 2, 3, 4, 5)
c2 = Knight(6, 7, 83, 2, 30)
c3 = Knight(4, 2, 3, 5, 20)
c4 = Knight(5, 2, 3, 6, 5)
c5 = Knight(6, 2, 3, 7, 10)
c6 = Knight(7, 2, 3, 8, 8)
que = PriorityQueue()

for v in [f'c{i}' for i in range(1,7)]:
    # print(eval(v).f)
    que.put(eval(v))

while not que.empty():
    node = que.get()
    print(node.x, node.y, node.g, node.h, node.f)
    mid = [node.x, node.y]
    end = [7, 7]
    print('欧式距离',Heuristic(mid, end))

Python code 优先级队列

## 20240717

from queue import PriorityQueue

que = PriorityQueue()


class Knight:
    def __init__(self, x=0, y=0, g=0, h=0, f=0):
        self.x = x
        self.y = y
        self.g = g
        self.h = h
        self.f = f

    def __lt__(self, other):
        return self.f < other.f  # 重载运算符， 从小到大排序


def Heuristic(k, end):  # 欧拉距离  这个公式是计算 mid 到达终点的距离， 不适合 起点 到达 mid.
    return (k.x - end.x) * (k.x - end.x) + (k.y - end.y) * (k.y - end.y)  # 统一不开根号，这样可以提高精度


def Astartbfs(grid, start, end):
    """
    point: Knight的结构
    grid: 统计走过的点需要的步数
    """
    offsets = [[-2, -1], [-2, 1], [2, -1], [2, 1], [1, -2], [1, 2], [-1, -2], [-1, 2]]  # 8个可以移动的offset
    que.put(start)
    counts = 0
    while not que.empty():
        counts += 1
        cur = que.get()
        # print(cur.x, cur.y, cur.g, cur.h, cur.f, grid[cur.x][cur.y], 'cur=========------------------------------------========')
        if cur.x == end.x and cur.y == end.y:  # 找到了终点位置

            print(f'到达终点， counts: {counts}')
            break
        for i in range(8):
            next = Knight()
            next.x = cur.x + offsets[i][0]
            next.y = cur.y + offsets[i][1]
            # 边界
            if next.x < 1 or next.x > 1000 or next.y < 1 or next.y > 1000: continue
            if grid[next.x][next.y] == -1:
                grid[next.x][next.y] = grid[cur.x][cur.y] + 1

                # 计算距离
                next.g = cur.g + 5   # 每走一步的距离一定与上一步 + 5, 而不是和原点  保证一个距离在同一个水平， 走一步之后都是在5的基础上 +　（next, end）的距离
                # print(start.x,start.y, next.x,next.y,'----------------------------------------')
                next.h = Heuristic(next, end)
                next.f = next.g + next.h
                # print(next.x, next.y, next.g, next.h, next.f, grid[next.x][next.y], 'next=================')
                que.put(next)


def main():
    memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
    for points in memsets[:]:
        grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
        grid[points[0]][points[1]] = 0  # 起点的初始化

        start = Knight(points[0], points[1])  # 初始化, x, y, g, h, f
        end = Knight(points[-2], points[-1])
        start.g = 0
        start.h = Heuristic(start, end)
        start.f = start.g + start.h
        Astartbfs(grid, start, end)
        print('输出的结果', grid[points[-2]][points[-1]])
        print('\n')
        while not que.empty():
            que.get()  # 如果优先级队列非空， 则清空该队列
main()

code 的步数统计

到达终点， counts: 6
输出的结果 2
到达终点， counts: 18
输出的结果 4
到达终点， counts: 16
输出的结果 6
到达终点， counts: 10
输出的结果 5
到达终点， counts: 2
输出的结果 1
到达终点， counts: 1
输出的结果 0

明显小于未优化之前的步数

python code3

# 把昨天写的小垃圾修正一下
昨天主要的错误是：
k1 = grid[nextx][nexty]  * 5
k2 = Heuristic([nextx, nexty], end)
que.put(Knight(k1 + k2, [nextx, nexty]))

昨天写成了
k1 = Heuristic(start, [nextx, nexty]) + 5
k2 = Heuristic([nextx, nexty], end)
que.put(Knight(k1 + k2, [nextx, nexty]))

没有理解 k1 的作用，k1 最大的作用是 走了 1步则k1=0+5, 走了2步， k1 = 0 + 5 + 5, 每多走一步， 一定是在上一步的k1的基础上递增。而不是计算start和当前步的欧式距离
，欧式距离只适用于： 当前步到达终点位置的计算。

from queue import PriorityQueue
class Knight:
    def __init__(self,k, point):
        self.k = k
        self.point = point
    def __lt__(self, other):
        return self.k < other.k

def Heuristic(point1, point2):
    return (point1[0] - point2[0]) * (point1[0] - point2[0]) + (point1[1] - point2[1]) * (point1[1] - point2[1])

def bfs(points):
    start = points[:2]
    end = points[-2:]
    grid = [[-1  for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
    que = PriorityQueue()
    k1 = Heuristic(start, start) + 5
    k2 = Heuristic(start, end)
    que.put(Knight(k1 + k2, start))
    grid[start[0]][start[1]] = 0

    dir = [[-1, -2],[ -2, -1], [-2, 1], [-1, 2], [1, 2], [2, 1],[ 2, -1], [1, -2]]
    while not que.empty():
        point = que.get().point
        # print('\n', point)
        if point[0] == end[0] and point[1] == end[1]:return grid[point[0]][point[1]]
        for i in range(8):
            nextx = point[0] + dir[i][0]
            nexty = point[1] + dir[i][1]
            if nextx < 1 or nexty < 1 or nextx > 1000 or nexty > 1000:continue
            if grid[nextx][nexty] == -1:
                grid[nextx][nexty] = grid[point[0]][point[1]] + 1
                # print(nextx, nexty, counts)
                k1 = grid[nextx][nexty]  * 5
                k2 = Heuristic([nextx, nexty], end)
                que.put(Knight(k1 + k2, [nextx, nexty]))

from collections import deque
print('xxxxxxxx')
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]

for points in memsets:
    res = bfs(points)
    print(points, res)

原文地址：https://blog.csdn.net/qq_40445763/article/details/140501364

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