【笔记】微分方程
一、微分方程的基本概念:
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定义: 微分方程是一个包含未知函数及其一个或多个导数的方程。
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阶: 微分方程的阶是指方程中出现的最高阶导数。
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线性与非线性: 如果未知函数及其导数都是一次方的,则称为线性微分方程;否则为非线性微分方程。
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常微分方程(ODE)与偏微分方程(PDE): 常微分方程只包含一个自变量的导数,而偏微分方程包含多个自变量的偏导数。
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n阶微分方程的基本形式: F ( x , y , y ′ , y ′ ′ , . . . , y ( n ) ) = 0 F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0 F(x,y,y′,y′′,...,y(n))=0,这里不能把 y ( n ) y^{(n)} y(n) 直接提出,是隐式的。
其中:-
x x x 是自变量
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y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 是未知函数
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y ′ , y ′ ′ , . . . , y ( n ) y', y'', ..., y^{(n)} y′,y′′,...,y(n) 分别是 y y y 的一阶、二阶、…、n阶导数
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F F F 是一个给定的函数
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n阶微分方程的显式形式是: y ( n ) = f ( x , y , y ′ , y ′ ′ , . . . , y ( n − 1 ) ) y^{(n)} = f(x, y, y', y'', ..., y^{(n-1)}) y(n)=f(x,y,y′,y′′,...,y(n−1))
- 通解与特解: 代入微分方程使其恒等的函数。
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通解是包含和方程阶数数量相同的任意常数的一般解
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特解是一个特定(满足特定初始条件或边界条件)的解。
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【特解不一定由通解决定,通解也不包含所有解,只是满足该条件的一系列解】
- 初始条件和边界条件
- 初始条件:指定在某一点(通常是 x = 0 x = 0 x=0)上函数值和各阶导数值
- 边界条件:指定在不同点上的函数值或导数值的关系
例如,对于n阶方程,完整的初始条件集可能是:
y ( x 0 ) = y 0 , y ′ ( x 0 ) = y 1 , . . . , y ( n − 1 ) ( x 0 ) = y n − 1 y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1, ..., y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} y(x0)=y0,y′(x0)=y1,...,y(n−1)(x0)=yn−1
二、变量可分离微分方程
1. 一般可分离变量方程
变量可分离微分方程是一类特殊的一阶常微分方程,其一般形式为:
M ( x ) d x + N ( y ) d y = 0 M(x)dx + N(y)dy = 0 M(x)dx+N(y)dy=0
- 将方程写成 d y d x = g ( x ) h ( y ) \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) dxdy=g(x)h(y) 的形式。
- 将 d x dx dx 和 d y dy dy 分离到等式两边: 1 h ( y ) d y = g ( x ) d x \frac{1}{h(y)}dy = g(x)dx h(y)1dy=g(x)dx。
- 对等式两边进行不定积分: ∫ 1 h ( y ) d y = ∫ g ( x ) d x + C \int \frac{1}{h(y)}dy = \int g(x)dx + C ∫h(y)1dy=∫g(x)dx+C。
- 求出积分,并尝试解出 y y y。
2.齐次微分方程
齐次微分方程是一类特殊的一阶微分方程,其一般形式为:
d y d x = f ( y x ) \frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x}) dxdy=f(xy)
其中 f f f 是一个函数。这种方程之所以称为"齐次",是因为等式右边的函数 f f f 对于 x x x 和 y y y 都是同次的(通常为 0 次)。
解题步骤:
- 引入替换:令 u = y x u = \frac{y}{x} u=xy,则 y = u x y = ux y=ux。
- 计算 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy 使用链式法则: d y d x = x d u + u d x d x = u + x d u d x \frac{dy}{dx} = \frac{xdu+udx}{dx} =u + x\frac{du}{dx} dxdy=dxxdu+udx=u+xdxdu。
- 将这些替换代入原方程。整理得到关于 u u u 和 x x x 的可分离变量方程。
- 将 u u u 替换回 y x \frac{y}{x} xy 得到原方程的解。
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程最高阶为1阶,未知函数以及未知函数的导数都是1次。
一阶线性微分方程的一般形式是:
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
dxdy+P(x)y=Q(x)
其中P(x)和Q(x)是x的函数。
1.一阶线性微分方程的解法
1)一阶齐次线性微分方程
d y d x + P ( x ) y = 0 \frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 dxdy+P(x)y=0=> d y d x = − P ( x ) y \frac{dy}{dx}=-P(x)y dxdy=−P(x)y
1 y d y = − P ( x ) d x \frac1ydy=-P(x)dx y1dy=−P(x)dx
l n ∣ y ∣ = ∫ − P ( x ) d x + C ln|y|=\int-P(x)dx+C ln∣y∣=∫−P(x)dx+C
y = C e − ∫ P ( x ) d x ( C ≠ 0 ) y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\ne 0) y=Ce−∫P(x)dx(C=0)
2)一阶非齐次线性微分方程
常数变易法的步骤如下:
- 先求出对应的齐次方程的通解。
- 假设非齐次方程的解与齐次方程的解具有相同的形式,但将常数C替换为x的未知函数C(x)。
- 将这个假设的解代入原非齐次方程,求解出未知函数。
- 将求得的函数代回假设的解中,得到非齐次方程的通解。
假设非齐次方程的解的形式为: y = C ( x ) e − ∫ P ( x ) d x y=C(x)e^{-\int P(x)dx} y=C(x)e−∫P(x)dx,C(x)为待求函数。
代入 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)得: C ( x ) ′ e − ∫ P ( x ) d x − P ( x ) C ( x ) e − ∫ P ( x ) d x + P ( x ) C ( x ) e − ∫ P ( x ) d x = Q ( x ) C(x)'e^{-\int P(x)dx}-P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx} + P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx} = Q(x) C(x)′e−∫P(x)dx−P(x)C(x)e−∫P(x)dx+P(x)C(x)e−∫P(x)dx=Q(x)
C ( x ) ′ e − ∫ P ( x ) d x = Q ( x ) C(x)'e^{-\int P(x)dx}= Q(x) C(x)′e−∫P(x)dx=Q(x)
C ( x ) ′ = Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x C(x)'= Q(x)e^{\int P(x)dx} C(x)′=Q(x)e∫P(x)dx
C ( x ) = ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C C(x)= \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C C(x)=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C
故通解为: y = e − ∫ P ( x ) d x [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ] y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C] y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]
2.伯努利方程的求解
伯努利方程的一般形式为:
d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n dxdy+P(x)y=Q(x)yn
其中n≠0且n≠1(n=0或n=1时,方程退化为线性方程)。
求解步骤如下:
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两边同除以 y n y^n yn:
y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx} + P(x)y^{1-n} = Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)
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令 u = y 1 − n u = y^{1-n} u=y1−n,则:
d u = ( 1 − n ) y − n d y du=(1-n)y^{-n}dy du=(1−n)y−ndy -
将新变量u代入方程:
1 1 − n d u d x + P ( x ) u = Q ( x ) \frac{1}{1-n}\frac{du}{dx} + P(x)u = Q(x) 1−n1dxdu+P(x)u=Q(x)
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这就转化为了一个关于u的一阶线性微分方程,可以用积分因子法求解。
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求解出u后,再反代回 y = u 1 / ( 1 − n ) y = u^{1/(1-n)} y=u1/(1−n)得到原方程的解。
四、可降价的高阶微分方程
1. y ( n ) = f ( x ) y^{(n)}=f(x) y(n)=f(x)型的微分方程
不断积分再加上常数部分。
y = ∫∫…∫f(x)dx+C₁ + C₂x + C₃x² + … + Cₙxⁿ⁻¹,其中 C₁, C₂, …, Cₙ 为任意常数。
2. y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y′′=f(x,y′)型的微分方程
可见,不含变量y,通过变量代换降价。
令u=y‘
=> d u d x = f ( x , u ) \frac{du}{dx}=f(x,u) dxdu=f(x,u)
3. y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y′)型的微分方程
不含变量x,把y看作自变量,y’看作因变量。
令u=y‘=dy/dx
y’'=du/dx
=> d u d y = d u d x d x d y = y ′ ′ 1 u \frac{du}{dy}=\frac{du}{dx}\frac{dx}{dy}=y''\frac{1}{u} dydu=dxdudydx=y′′u1
五、高阶线性微分方程
1.n阶线性微分方程的一般形式为:
a n ( x ) y ( n ) + a n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + . . . + a 1 ( x ) y ′ + a 0 ( x ) y = f ( x ) a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x) an(x)y(n)+an−1(x)y(n−1)+...+a1(x)y′+a0(x)y=f(x)
其中 a i ( x ) a_i(x) ai(x) 和 f ( x ) f(x) f(x) 是 x 的函数, y ( i ) y^{(i)} y(i) 表示 y 的 i 阶导数。
当 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0 时,方程称为齐次方程;否则称为非齐次方程。
2.叠加原理
叠加原理包含两个方面:
- 齐次方程解的线性组合仍是该方程的解。
- 如果 y 1 y_1 y1 和 y 2 y_2 y2 分别是 L [ y ] = f 1 ( x ) L[y] = f_1(x) L[y]=f1(x) 和 L [ y ] = f 2 ( x ) L[y] = f_2(x) L[y]=f2(x) 的解,那么 y 1 + y 2 y_1 + y_2 y1+y2 是 L [ y ] = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) L[y] = f_1(x) + f_2(x) L[y]=f1(x)+f2(x) 的解。
这里 L [ y ] L[y] L[y] 表示线性微分算子。
3.线性相关
对于 n 阶线性齐次微分方程:
a n ( x ) y ( n ) + a n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + . . . + a 1 ( x ) y ′ + a 0 ( x ) y = 0 a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0 an(x)y(n)+an−1(x)y(n−1)+...+a1(x)y′+a0(x)y=0
设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , . . . , y m ( x ) y_1(x), y_2(x), ..., y_m(x) y1(x),y2(x),...,ym(x) 是该方程的 m 个解,它们的线性相关性定义如下:
如果存在不全为零的常数 c 1 , c 2 , . . . , c m c_1, c_2, ..., c_m c1,c2,...,cm,使得对于所有 x 都有:
c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) + . . . + c m y m ( x ) = 0 c_1y_1(x) + c_2y_2(x) + ... + c_my_m(x) = 0 c1y1(x)+c2y2(x)+...+cmym(x)=0
则称这 m 个解线性相关。否则称为线性无关。
Wronskian 行列式是判断解的线性相关性的重要工具。对于函数 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , . . . , y n ( x ) y_1(x), y_2(x), ..., y_n(x) y1(x),y2(x),...,yn(x),它们的 Wronskian 定义为:
W ( x ) = ∣ y 1 y 2 ⋯ y n y 1 ′ y 2 ′ ⋯ y n ′ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y 1 ( n − 1 ) y 2 ( n − 1 ) ⋯ y n ( n − 1 ) ∣ W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\ y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix} W(x)= y1y1′⋮y1(n−1)y2y2′⋮y2(n−1)⋯⋯⋱⋯ynyn′⋮yn(n−1)
定理:如果 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , . . . , y n ( x ) y_1(x), y_2(x), ..., y_n(x) y1(x),y2(x),...,yn(x) 是 n 阶线性齐次微分方程的 n 个解,那么它们线性无关的充要条件是它们的 Wronskian 不恒为零。
1 齐次方程的解
n阶线性齐次方程的所有解构成n维线性空间
对于齐次方程,其通解是 n 个线性无关的特解的线性组合:
y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . + c n y n y = c_1y_1 + c_2y_2 + ... + c_ny_n y=c1y1+c2y2+...+cnyn
其中 y 1 , y 2 , . . . , y n y_1, y_2, ..., y_n y1,y2,...,yn 是线性无关的特解, c 1 , c 2 , . . . , c n c_1, c_2, ..., c_n c1,c2,...,cn 是任意常数。
对于任意解y(x),都存在常数 c 1 , c 2 , . . . , c n c_1, c_2, ..., c_n c1,c2,...,cn ,使得 y ( x ) = c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . + c n y n y(x) = c_1y_1 + c_2y_2 + ... + c_ny_n y(x)=c1y1+c2y2+...+cnyn
2 非齐次方程的解
非齐次方程的通解是其对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解:
y = y h + y p y = y_h + y_p y=yh+yp
其中 y h y_h yh 是对应齐次方程的通解, y p y_p yp 是非齐次方程的一个特解。
通过解齐次方程得到通解后,使用常数变易法求特解。
六、常系数齐次线性微分方程
对于常系数齐次线性微分方程,我们通常使用特征方程法:
- 将方程写成标准形式: y ( n ) + a n − 1 y ( n − 1 ) + . . . + a 1 y ′ + a 0 y = 0 y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + ... + a_1y' + a_0y = 0 y(n)+an−1y(n−1)+...+a1y′+a0y=0
- 构造特征方程: r n + a n − 1 r n − 1 + . . . + a 1 r + a 0 = 0 r^n + a_{n-1}r^{n-1} + ... + a_1r + a_0 = 0 rn+an−1rn−1+...+a1r+a0=0
- 求解特征方程,得到特征根 r 1 , r 2 , . . . , r n r_1, r_2, ..., r_n r1,r2,...,rn
- 根据特征根的情况写出通解:
- 对于实单根 r r r,对应的解是 e r x e^{rx} erx
- 对于 k 重实根 r r r,对应的解是 e r x , x e r x , . . . , x k − 1 e r x e^{rx}, xe^{rx}, ..., x^{k-1}e^{rx} erx,xerx,...,xk−1erx
- 对于共轭复根 a ± b i a \pm bi a±bi,对应的解是 e a x cos ( b x ) e^{ax}\cos(bx) eaxcos(bx) 和 e a x sin ( b x ) e^{ax}\sin(bx) eaxsin(bx)
证明:
1.二阶齐次线性微分方程
y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y''+py'+qy=0 y′′+py′+qy=0
n=2,求通解,只需求出两个特解,然后线性组合即可。
根据一阶齐次线性微分方程 d y d x + P ( x ) y = 0 \frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 dxdy+P(x)y=0=> y = C e − ∫ P ( x ) d x ( C ≠ 0 ) y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\ne 0) y=Ce−∫P(x)dx(C=0)
一阶常系数微分方程的解为 y = C e − r x y=Ce^{-rx} y=Ce−rx
假设二阶齐次线性微分方程解的结构也是类似 y = e r x y=e^{rx} y=erx
把该解代入,得 ( e r x ) ′ ′ + p ( e r x ) y ′ + q ( e r x ) y = 0 (e^{rx})''+p(e^{rx})y'+q(e^{rx})y=0 (erx)′′+p(erx)y′+q(erx)y=0
即得到特征方程: r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0
特征方程的根是特征根。
只要r满足特征方程, y = e r x y=e^{rx} y=erx就是微分方程的解。
1)2个特征根
y 1 = e r 1 x y_1=e^{r_1x} y1=er1x, y 2 = e r 2 x y_2=e^{r_2x} y2=er2x, y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} y=C1er1x+C2er2x
2)1个特征根
r 1 = r 2 r_1=r_2 r1=r2, y 1 = e r 1 x y_1=e^{r_1x} y1=er1x。
设 y 2 = u ( x ) y 1 = u ( x ) e r 1 x y_2=u(x)y_1=u(x)e^{r_1x} y2=u(x)y1=u(x)er1x
代入微分方程, y 2 ′ = u ( x ) ′ e r 1 x + r 1 u ( x ) e r 1 x y_2'=u(x)'e^{r_1x}+r_1u(x)e^{r_1x} y2′=u(x)′er1x+r1u(x)er1x
y 2 ′ ′ = u ( x ) ′ ′ e r 1 x + r 1 u ( x ) ′ e r 1 x + r 1 u ( x ) ′ e r 1 x + r 1 2 u ( x ) e r 1 x y_2''=u(x)''e^{r_1x}+r_1u(x)'e^{r_1x}+r_1u(x)'e^{r_1x}+r_1^2u(x)e^{r_1x} y2′′=u(x)′′er1x+r1u(x)′er1x+r1u(x)′er1x+r12u(x)er1x
u ( x ) ′ ′ e r 1 x + r 1 u ( x ) ′ e r 1 x + r 1 u ( x ) ′ e r 1 x + r 1 2 u ( x ) e r 1 x + p ( u ( x ) ′ e r 1 x + r 1 u ( x ) e r 1 x ) + q u ( x ) e r 1 x = 0 u(x)''e^{r_1x}+r_1u(x)'e^{r_1x}+r_1u(x)'e^{r_1x}+r_1^2u(x)e^{r_1x}+p(u(x)'e^{r_1x}+r_1u(x)e^{r_1x})+qu(x)e^{r_1x}=0 u(x)′′er1x+r1u(x)′er1x+r1u(x)′er1x+r12u(x)er1x+p(u(x)′er1x+r1u(x)er1x)+qu(x)er1x=0
u ( x ) ′ ′ + r 1 u ( x ) ′ + r 1 u ( x ) ′ + r 1 2 u ( x ) + p ( u ( x ) ′ + r 1 u ( x ) ) + q u ( x ) = 0 u(x)''+r_1u(x)'+r_1u(x)'+r_1^2u(x)+p(u(x)'+r_1u(x))+qu(x)=0 u(x)′′+r1u(x)′+r1u(x)′+r12u(x)+p(u(x)′+r1u(x))+qu(x)=0
u ( x ) ′ ′ + ( 2 r 1 + p ) u ( x ) ′ + ( r 1 2 + p r 1 + q ) u ( x ) = 0 u(x)''+(2r_1+p)u(x)'+(r_1^2+pr_1+q)u(x)=0 u(x)′′+(2r1+p)u(x)′+(r12+pr1+q)u(x)=0
由于 r 1 = r 2 = p 2 r_1=r_2=\frac p2 r1=r2=2p, 2 r 1 + p = 0 2r_1+p=0 2r1+p=0,因为满足特征方程, r 1 2 + p r 1 + q = 0 r_1^2+pr_1+q=0 r12+pr1+q=0
所以只要满足 u ( x ) ′ ′ = 0 u(x)''=0 u(x)′′=0,就是方程的另一个解。
简便起见,设u(x)=x,则 y 2 = x e r 1 x y_2=xe^{r_1x} y2=xer1x
y = C 1 e r 1 x + C 2 x e r 1 x y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x} y=C1er1x+C2xer1x
3)0个特征根
此时没有实数解, r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2是一对共轭复根, r 1 = α + β i r 2 = α − β i r_1=\alpha+\beta i\\r_2=\alpha-\beta i r1=α+βir2=α−βi
其中, α = − p 2 , β = − △ 2 \alpha=-\frac p2,\beta=\frac{\sqrt{-\triangle}}{2} α=−2p,β=2−△ 【在实数解的基础上记忆】
y 1 = e ( α + β i ) x , y 2 = e ( α − β i ) x y_1=e^{(\alpha+\beta i)x},y_2=e^{(\alpha-\beta i)x} y1=e(α+βi)x,y2=e(α−βi)x
根据 e i x = cos x + i sin x e^{ix} = \cos x + i \sin x eix=cosx+isinx
y 1 = e α x ( c o s β x + i s i n β x ) , y 2 = e α x ( c o s β x − i s i n β x ) y_1=e^{\alpha x}(cos\beta x+isin\beta x),y_2=e^{\alpha x}(cos\beta x-isin\beta x) y1=eαx(cosβx+isinβx),y2=eαx(cosβx−isinβx)
y ˉ 1 = y 1 + y 2 2 = e α x c o s β x y ˉ 2 = y 1 − y 2 2 i = e α x s i n β x \bar y_1=\frac{y_1+y_2}2=e^{\alpha x}cos\beta x\\\bar y_2=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{\alpha x}sin\beta x yˉ1=2y1+y2=eαxcosβxyˉ2=2iy1−y2=eαxsinβx
y是上述的线性组合。
y = e α x ( C 1 c o s β x + C 2 s i n β x ) y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x) y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
2.k阶齐次线性微分方程
如果特征方程有 k 个不同的实根 r 1 , r 2 , . . . , r k r_1, r_2, ..., r_k r1,r2,...,rk,则通解为:
y = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + . . . + c k e r k x y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x} + ... + c_k e^{r_k x} y=c1er1x+c2er2x+...+ckerkx
其中 c 1 , c 2 , . . . , c k c_1, c_2, ..., c_k c1,c2,...,ck 是任意常数。
k阶重根
如果某个实根 r r r 的重数为 m,则对应的解的形式为:
y = ( c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + . . . + c m x m − 1 ) e r x y = (c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + ... + c_m x^{m-1}) e^{rx} y=(c1+c2x+c3x2+...+cmxm−1)erx
其中 c 1 , c 2 , . . . , c m c_1, c_2, ..., c_m c1,c2,...,cm 是任意常数。
一对k重共轭复根
对于一对k重共轭复根 a ± b i a \pm bi a±bi,对应的通解形式为:
y = e a x [ ( c 1 + c 2 x + . . . + c k x k − 1 ) cos ( b x ) + ( d 1 + d 2 x + . . . + d k x k − 1 ) sin ( b x ) ] y = e^{ax} [(c_1 + c_2x + ... + c_kx^{k-1})\cos(bx) + (d_1 + d_2x + ... + d_kx^{k-1})\sin(bx)] y=eax[(c1+c2x+...+ckxk−1)cos(bx)+(d1+d2x+...+dkxk−1)sin(bx)]
其中 c 1 , c 2 , . . . , c k , d 1 , d 2 , . . . , d k c_1, c_2, ..., c_k, d_1, d_2, ..., d_k c1,c2,...,ck,d1,d2,...,dk 是任意常数。
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