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Greiner 经典力学（多体系统和哈密顿力学）第二章 学习笔记

🕗 发布于 2024-09-20 08:22 经典力学  

第二章 学习笔记

第二章的题目是 Free Fall on the Rotating Earth。这章的内容就是第一章结论的一个直接应用。这一章假设地心是做匀速直线运动的，也就是地心坐标系是惯性系 L。在地表处建立一个 M 坐标系。

首先先指出书上一个错误，书上公式 2.1 写的是：
m   r ′ ¨ ∣ M = F − m   R ¨ ∣ L − m ω ˙ × r ′ ∣ M − 2 m ω × r ′ ˙ ∣ M − m ω × ( ω × r ′ ) m \ \ddot{\mathbf r'}|_M = \mathbf F - m \ \ddot{\mathbf R}|_L - m \dot{\omega}\times \mathbf r' |_M - 2 m \omega \times \dot{\mathbf r'}|_M - m \omega \times (\omega \times \mathbf r') m r′¨∣M​=F−m R¨∣L​−mω˙×r′∣M​−2mω×r′˙∣M​−mω×(ω×r′)
只有速度和加速度矢量需要标注坐标系，所以里面 ω ˙ × r ′ ∣ M \dot{\omega}\times \mathbf r' |_M ω˙×r′∣M​ 应该是 ω ˙ ∣ M × r ′ \dot{\omega}|_M\times \mathbf r' ω˙∣M​×r′。因此公式2.1 应该修正为：
m   r ′ ¨ ∣ M = F − m   R ¨ ∣ L − m ω ˙ ∣ M × r ′ − 2 m ω × r ′ ˙ ∣ M − m ω × ( ω × r ′ ) m \ \ddot{\mathbf r'}|_M = \mathbf F - m \ \ddot{\mathbf R}|_L - m \dot{\omega}|_M \times \mathbf r' - 2 m\omega \times \dot{\mathbf r'}|_M - m\omega \times (\omega \times \mathbf r') m r′¨∣M​=F−m R¨∣L​−mω˙∣M​×r′−2mω×r′˙∣M​−mω×(ω×r′)
由于地球的自转可以认为是恒定不变的。所以 ω ˙ = 0 \dot{\omega} = 0 ω˙=0 。
m   r ′ ¨ ∣ M = F − m   R ¨ ∣ L − 2 m ω × r ′ ˙ ∣ M − m ω × ( ω × r ′ ) m \ \ddot{\mathbf r'}|_M = \mathbf F - m \ \ddot{\mathbf R}|_L - 2 m \omega \times \dot{\mathbf r'}|_M - m\omega \times (\omega \times \mathbf r') m r′¨∣M​=F−m R¨∣L​−2mω×r′˙∣M​−mω×(ω×r′)
R \mathbf R R 是地心指向地面坐标系的矢量，这个矢量从地面坐标系来看是个常数。也就是 R ¨ ∣ M = R ˙ ∣ M = 0 \ddot{\mathbf R}|_M = \dot{\mathbf R}|_M = 0 R¨∣M​=R˙∣M​=0。所以有下面的等式：
R ¨ ∣ L = R ¨ ∣ M + ω ˙ ∣ M × R + 2 ω × R ˙ ∣ M + ω × ( ω × R ) = ω × ( ω × R ) \ddot{\mathbf R}|_L = \ddot{\mathbf R}|_M + \dot \omega |_M \times \mathbf R + 2 \omega \times \dot{\mathbf R}|_M + \omega \times (\omega \times \mathbf R) \\ =\omega \times (\omega \times \mathbf R) R¨∣L​=R¨∣M​+ω˙∣M​×R+2ω×R˙∣M​+ω×(ω×R)=ω×(ω×R)
所以：
m   r ′ ¨ ∣ M = F − m ω × ( ω × R ) − 2 m ω × r ′ ˙ ∣ M − m ω × ( ω × r ′ ) m \ \ddot{\mathbf r'}|_M = \mathbf F - m \omega \times (\omega \times \mathbf R) - 2 m \omega \times \dot{\mathbf r'}|_M - m\omega \times (\omega \times \mathbf r') m r′¨∣M​=F−mω×(ω×R)−2mω×r′˙∣M​−mω×(ω×r′)
对于放置于M 系原点静止的物体，受到两个外力，分别是万有引力和地面对它的支撑力。同时， r ′ = 0 , r ′ ˙ = 0 \mathbf r'=0 ,\dot{\mathbf r'} = 0 r′=0,r′˙=0。设支撑力为 F h \mathbf F_h Fh​，那么有：
0 = F h − G M m R R 3 − m ω × ( ω × R ) F h = G M m R R 3 + m ω × ( ω × R ) 0 = \mathbf F_h - \frac{GMm \mathbf R}{R^3}- m\omega \times (\omega \times \mathbf R) \\ \mathbf F_h = \frac{GMm \mathbf R}{R^3}+ m\omega \times (\omega \times \mathbf R) 0=Fh​−R3GMmR​−mω×(ω×R)Fh​=R3GMmR​+mω×(ω×R)
支撑力和重力是相反的。所以重力 m g m \mathbf g mg 可以表示为:
g = − G M R R 3 + ω × ( ω × R ) \mathbf g = -\frac{GM \mathbf R}{R^3}+ \omega \times (\omega \times \mathbf R) g=−R3GMR​+ω×(ω×R)
对于自由落体，有：
m   r ′ ¨ ∣ M = m g − 2 m ω × r ′ ˙ ∣ M − m ω × ( ω × r ′ ) m \ \ddot{\mathbf r'}|_M = m \mathbf g - 2 m \omega \times \dot{\mathbf r'}|_M - m\omega \times (\omega \times \mathbf r') m r′¨∣M​=mg−2mω×r′˙∣M​−mω×(ω×r′)
ω = 2 π 24 ∗ 3600 \omega = \frac{2 \pi}{24 * 3600} ω=24∗36002π​ 是个很小的数字， m ω × ( ω × r ′ ) m\omega \times (\omega \times \mathbf r') mω×(ω×r′) 与 m g m \mathbf g mg 相比可以忽略。所以可以进一步简化为：
m   r ′ ¨ ∣ M = m g − 2 m ω × r ′ ˙ ∣ M m \ \ddot{\mathbf r'}|_M = m \mathbf g - 2 m \omega \times \dot{\mathbf r'}|_M m r′¨∣M​=mg−2mω×r′˙∣M​
再往后就是如何把这个矢量方程化为三个标量方程，然后再求解方程的过程。后面其实就都是数学问题了。这里就不详细的写了。


原文地址：https://blog.csdn.net/liyuanbhu/article/details/142372197

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