02-二自由度机械臂—运动学分析

  在前文，已经验证二自由度机械臂在静止状态下，不同方法得到的末端点P的位置坐标值是一致的，此文将简单介绍一下二自由度机械臂正运动学、逆运动学分析。

2.1 正运动学

  给出二自由度机械臂两个关节的运动曲线，让机械臂运动，得到末端点P的位置曲线。两个关节角度变化如下所示：


  让机械臂按照上述关节角度曲线运动，对比几种方法计算的末端点P的位置曲线。

（1）RT & MDH & MATLAB对比

  采用前文所述的机器人工具箱（RT）、改进DH法（MDH）和几何法（MATLAB），根据上文的关节角度轨迹，计算机械臂末端点P的位置变化曲线。三种方法的结果如下图所示：

  为了更方便对比不同方法的计算结果，分别对RT&MDH、RT&MATLAB计算的结果进行作差，具体如下：
  RT和MDH计算结果的差值：

RT和MATLAB计算结果的差值：

  可以看到，RT、MDH和MATLAB这三种方法计算的结果十分接近，误差几乎为零！

（2）RT和Solidworks对比

  以机器人工具箱（RT）为基准，与Soldiworks仿真结果进行对比。在Solidworks中，利用Motion模块进行运动学仿真，如下所示：

  采集末端点P的位置曲线，与RT计算的结果进行对比，如下所示：

  RT和Solidworks计算结果的差值：

  可以看出，利用Solidworks进行运动学仿真，其仿真结果准确性虽然不如机器人工具箱，但两者的误差也较小，用来做简单的运动学仿真足以（由于利用Solidworks可以很方便的做运动学、动力学仿真，笔者使用该方法进行仿真较多）。

（3）RT和Simscape对比

  以机器人工具箱（RT）为基准，与Simscape仿真结果进行对比。在Simscape中进行运动学仿真，如下所示：


  采集末端点P的位置曲线，与RT计算的结果进行对比，如下所示：

  RT和Simscape计算结果的差值：

  可以看出，利用Simscape进行运动学仿真，其仿真结果准确性较高，但是前期搭建Simscape仿真模型较为麻烦，不过后期如果要做控制相关的课题，离不开Simscape仿真平台。

2.2 逆运动学

  给定末端点P的位置坐标（$x_p，y_p$），求解二自由度机械臂的关节角度（${\theta }_1，{\theta }_2$）

（1）公式推导

  在直角三角形OPC中有：$L_0=\sqrt{x_p^2+y_p^2}$，${\theta }_0=\arctan (y_p/x_p)$，$x_p=L_0\cos {\theta }_0$,$y_p=L_0\sin {\theta }_0$
求解${\theta }_1$，有公式：

平方相加后为：

由于：$x_p=L_0\cos {\theta }_0$,$y_p=L_0\sin {\theta }_0$，上式可以写成：

也即：

解得：

求解${\theta }_2$：
<1> 当$x_p-L_1\cos {\theta }_1=0$时，有$\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)=0$，即：

当$y_p>L_1\sin {\theta }_1$，满足${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$，有以下四类情况：

此时，可得：

当$y_p<L_1\sin {\theta }_1$，满足${\theta }_1+{\theta }_2=-90^{\circ }$，有以下四类情况：

此时，可得：

<2>当$x_p-L_1\cos {\theta }_1\ne 0$时，根据下式：

两式相除，有：

因此可得：

（2）验证

  验证轨迹1：让二自由度机械臂末端点P以（0.1，0，1）m为圆心，0.02m为半径画圆，如下所示：

  按照上一节的公式进行逆运动学计算，算出来了两组解，如下图所示：

  为了验证逆运动学是否正确，将算出来的结果再代入正运动学中，看求解出来的末端点P的轨迹曲线是否为上述的圆形轨迹。根据两组解来进行正运动学计算，结果如下所示：

  可以看出，理论值（给出的圆形轨迹）和验证值（利用两组解，按照正运动学计算末端点P的轨迹）重合度较高。为了更为直观的观察前后结果，这里通过对坐标值进行作差来进行观察，结果如下所示：

  由图可知，在圆形轨迹中，通过逆运动学可算出来两组解。利用这两组解进行正运动学计算，得到的末端点轨迹与给出的圆形轨迹误差几乎为零！！
  验证轨迹2：让二自由度机械臂末端点P画8字曲线，如下所示：

  同理，按照上一节的公式进行逆运动学计算，算出来了两组解，如下图所示：

  可以看到，第二组解的${\theta }_2$出现了两个畸变点，这种情况在实际实验、加工中是不允许有的，要注意规避这种情况，这里不做过多深究。同理，为了验证逆运动学是否正确，将算出来的结果再代入正运动学中，看求解出来的末端点P的轨迹曲线是否为上述的8字轨迹。根据两组解来进行正运动学计算，结果如下所示：

  可以看出，理论值（给出的8字轨迹）和验证值（利用两组解，按照正运动学计算末端点P的轨迹）重合度较高。为了更为直观的观察前后结果，这里通过对坐标值进行作差来进行观察，结果如下所示：

  图可知，在8字轨迹中，通过逆运动学可算出来两组解。利用这两组解进行正运动学计算，得到的末端点轨迹与给出的8字轨迹误差几乎为零！！

（3）小结

  对二自由度串联机械臂而言，进行逆运动学求解一般有两组解，且通过本文验证实验表明，所推导的逆运动学公式准确性较高！！
  我是木头人，以上全是个人见解，有问题请大家评论区指出，大家共同进步！！

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