信息安全数学基础（27）雅可比符号

前言

       雅可比符号（Jacobi symbol）是数学中初等数论领域的一个重要概念，它是勒让德符号的推广。

一、定义与表示

       雅可比符号表示为 (pa​)，其中 a 是任意整数，p 是大于等于3的奇数。雅可比符号的值可以是1、-1或0，具体取决于 a 是否为模 p 的二次剩余、非剩余或 a 是否能被 p 整除。

二、性质与计算规则

1. 基本性质：

   • 当 a 是 p 的二次剩余时，(pa​)=1。
   • 当 a 是 p 的二次非剩余时，(pa​)=−1。
   • 当 a 能被 p 整除时，(pa​)=0。

2. 计算规则：

   • (p1​)=1，因为1是任何数的二次剩余。
   • (p−1​) 的值取决于 p 除以4的余数。如果 p≡1(mod4)，则 (p−1​)=1；如果 p≡3(mod4)，则 (p−1​)=−1。
   • 对于乘积，有 (pab​)=(pa​)(pb​)。
   • 雅可比符号满足二次互反律，即 (pa​)(ap​)=(−1)4(p−1)(a−1)​，但需要注意这里 a 也需要是奇数且 a 和 p 互质。如果 a 不是奇数或 a 和 p 不互质，则不能直接应用此公式。

三、应用与意义

1. 判别二次剩余：雅可比符号可以用于判别一个数是否为另一个数的二次剩余，这在数论和密码学等领域有重要的应用。
2. 简化计算：在处理一些涉及二次剩余的问题时，使用雅可比符号可以简化计算过程。
3. 推动数论研究：雅可比符号的引入和研究推动了数论领域的发展，为后续的数学研究提供了有力的工具。

四、与勒让德符号的关系

       雅可比符号是勒让德符号的推广。当 p 是奇素数时，雅可比符号与勒让德符号在定义和性质上是完全一致的。然而，雅可比符号的定义域更广，它适用于所有大于等于3的奇数 p，而勒让德符号则仅适用于奇素数。

总结

       综上所述，雅可比符号是数学中初等数论领域的一个重要概念，它具有广泛的应用和深远的意义。通过学习和研究雅可比符号，我们可以更深入地理解数论的基本概念和数学工具，并为后续的数学研究提供有力的支持。

 结语  

没有实力时

对别人的好

很容易被定义为讨好

！！！

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