一篇文章详解补码

1. 补码的核心思路

补码之所以被广泛应用，主要因为它能在计算机硬件中简单有效地处理带符号的整数运算，特别是正负数的加减法。补码表示法将负数表示为一种与正数相对称的方式，使得硬件加法器不需要为正负数做特殊处理——所有的加减运算都可以通过加法实现。

补码的定义：

在补码表示法中：

• 正数 和 0 的补码表示和原码一致。
• 负数 的补码表示是对其绝对值的 二进制形式按位取反再加1。

这意味着补码的最高位是符号位：0 表示正数，1 表示负数。

例如，假设我们用 8位二进制 表示数：

• 对于正数 5，它的二进制是 00000101，补码就是它本身。
• 对于负数 -5，我们先写出 5 的二进制形式 00000101，然后将其取反（得到 11111010），最后加 1（得到 11111011），这就是 -5 的补码表示。

2. 正数、负数和零的补码表示

1. 正数：正数的补码与它的二进制原码一致，符号位是 0。例如：

   • 8位表示下，5 的二进制是 00000101，它的补码也是 00000101。

2. 负数：负数的补码通过取绝对值的二进制形式按位取反后加1来得到，符号位是 1。例如：

   • -5 的补码：
     • 首先，5 的二进制是 00000101；
     • 然后按位取反：11111010；
     • 再加 1：11111011，所以 -5 的补码是 11111011。

3. 零：补码表示的零只有一种形式，即全为 0。这是补码的另一个优势，它消除了其他表示（如原码中的“正零”和“负零”）带来的混淆。例如：

   • 0 的补码是 00000000。

3. 补码的数值范围

对于n 位二进制数，补码表示的数值范围如下：

• 最小值：-2^(n-1)
• 最大值：2^(n-1) - 1

这是因为：

• 正数的范围是从 000...000 到 011...111，即从 0 到 2^(n-1) - 1。
• 负数的范围是从 100...000 到 111...111，即从 -2^(n-1) 到 -1。

举例：

• 对于 8位 二进制补码表示，范围是：
  • 最小值：-128（对应二进制 10000000）
  • 最大值：127（对应二进制 01111111）

4. 补码求法详解

求负数的补码一般分为以下几个步骤：

1. 求绝对值的二进制形式。例如 -5 的绝对值是 5，它的二进制是 00000101。
2. 按位取反，即将每一个 0 变成 1，每一个 1 变成 0。对于 5 的二进制 00000101，按位取反后得到 11111010。
3. 加 1，将取反后的二进制数加 1。对 11111010 加 1 得到 11111011，这就是 -5 的补码表示。

更多示例：

• 对于 8位表示的 -1：

  • 1 的二进制是 00000001；
  • 按位取反：11111110；
  • 加 1：11111111，因此 -1 的补码是 11111111。

• 对于 4位表示的 -7：

  • 7 的二进制是 0111；
  • 按位取反：1000；
  • 加 1：1001，因此 -7 的补码是 1001。

5. 补码加法详解

补码的加法运算中，正数和负数都可以通过同一种机制进行。让我们通过几个具体例子看看补码的加法是如何简化运算的。

正数相加：

例如，8位二进制补码下 5 + 3：

• 5 的补码是 00000101。
• 3 的补码是 00000011。

进行加法：

  00000101
+ 00000011
-----------
  00001000  (即 8)

结果是 00001000，即十进制的 8，符合预期。

正数与负数相加：

例如，8位二进制补码下 5 + (-3)：

• 5 的补码是 00000101。
• -3 的补码是 11111101。

进行加法：

  00000101
+ 11111101
-----------
  00000010  (即 2)

结果是 00000010，即 2，结果正确。

6. 补码的溢出问题

当我们处理超出表示范围的数值时，可能会发生溢出。溢出会导致结果不正确，特别是在符号位变化的情况下。对于 n 位补码，当结果超出范围时，最左边的进位会丢失，从而产生错误的结果。

举例：

假设我们用 4位补码来进行加法：

1. 溢出示例：
   计算 7 + 2：

   • 7 的补码是 0111。
   • 2 的补码是 0010。

   进行加法：

     0111  (7)
   + 0010  (2)
   --------
     1001  (-7，错误)
   

   结果 1001 实际上是 -7，这说明发生了溢出，因为 4位补码的最大正数是 7。

2. 检测溢出：
   补码加法时，如果两个正数相加结果为负数，或者两个负数相加结果为正数，则发生了溢出。例如 7 + 2 结果是负数，这明显是溢出。

7. 补码的优势与特点

1. 加法统一：补码使得所有带符号数的加法都可以通过统一的加法电路实现，包括正负数的运算，不需要额外的减法器。

2. 唯一的零：补码只有一种零，即 00000000，而不像原码那样有正零和负零。

3. 溢出检测简单：通过符号位的变化可以检测溢出，例如两个正数相加得负数或者两个负数相加得正数，表示发生了溢出。

总结：

补码是一种优雅且高效的二进制编码方式，用于表示带符号整数。它能够统一正负数的运算，使得计算机硬件中的加法电路更加简洁。

补码零的表示是唯一的，[+0.0000]补=0.0000[-0.0000]补=0.0000
补码的符号位可以与数值位一起参加运算

原文地址：https://blog.csdn.net/2302_79730293/article/details/142920629

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