第199题｜关于函数的周期性问题｜函数强化训练（六）｜武忠祥老师每日一题 5月24日

🕗 发布于 2024-05-25 14:55 算法

解题思路：解这道题我们要用到下面这个结论

f(x)连续，以T为周期时，原函数以T为周期的充分必要条件是： $\int_{a}^{a+T}f(t)dt=0$

(A)

sin x显然是以π为周期的，我们可以看到 $\int_{0}^{\pi }|sin x|dx$ 并不等于0,根据结论，A的原函数显然不是周期函数。

(B)

$sin^{4}x$ 的周期是 $\pi$ ，但是 $\int_{0}^{\pi }sin^{4} xdx$ 显然是大于0的，B也是错的。

(C)

$sin^{2}x$ 的周期是 $\pi$ ，所以整体的周期应该也是 $\pi$ ， $\int_{0}^{\pi }\frac{1}{1+sin^{2} x}dx$ 显然不等于0，C也不对

(D)

排除法直接选D；

我们再来看一下D为什么对，sin x的周期是 $2\pi$ ， $\frac{1}{1+sin^{4}x}$ 的周期是 $\pi$ ，两者相乘，周期是2 $\pi$

$\frac{sin x}{1+sin^{4}x}$ 显然是个奇函数，碰到奇函数，且周期是2的倍数，就要想到上面这个结论，那它的原函数一定以T为周期： $\int_{-\pi }^{\pi }\frac{sin x}{1+sin^{4}x}dx=0$ ,根据结论得证.

知识点总结：

1. f(x)连续，以T为周期时，原函数以T为周期的充分必要条件是： $\int_{a}^{a+T}f(t)dt=0$

2.in x的周期是 $2\pi$ ， $\frac{1}{1+sin^{4}x}$ 的周期是 $\pi$ ，两者相乘，周期是2 $\pi$

3.奇函数且周期是2的倍数要想到上面的结论。

原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_62182040/article/details/139193843

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知识点总结：

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