实变函数精解【6】

点集

基础

• F ⊂ R n 是闭集， r > 0 ，点集 E = { t ∈ R n ：存在 x ∈ F , ∣ t − x ∣ = r } 是闭集 F\subset R^n是闭集，r>0，点集E=\{t \in R^n：存在x \in F,|t-x|=r\}是闭集 F⊂Rn是闭集，r>0，点集E={t∈Rn：存在x∈F,∣t−x∣=r}是闭集
  证明： t ∈ E , x ∈ F , ∣ t − x ∣ = r , r > 0 F 是闭集， F ′ ⊂ F 1. 如果 x > t = > x = t + r x ∈ F ′ , lim ⁡ k → ∞ ∣ x k − x ∣ = 0 t ∈ E ，存在 E 中的互异点列 { t k } , x k = t k + r lim ⁡ k → ∞ ∣ x k − x ∣ = lim ⁡ k → ∞ ∣ t k + r − ( t + r ) ∣ = 0 = > lim ⁡ k → ∞ ∣ t k − t ∣ = 0 = > t ∈ E ′ = > E ′ ⊂ E 2. 如果 x < t = > x = t − r x ∈ F ′ , lim ⁡ k → ∞ ∣ x k − x ∣ = 0 t ∈ E ，存在 E 中的互异点列 { t k } , x k = t k − r lim ⁡ k → ∞ ∣ x k − x ∣ = lim ⁡ k → ∞ ∣ t k − r − ( t − r ) ∣ = 0 = > lim ⁡ k → ∞ ∣ t k − t ∣ = 0 = > t ∈ E ′ = > E ′ ⊂ E 3. 另一个证法 ∀ δ > 0 ， ( B ( x , δ ) \ { x } ) ∩ F ≠ ∅ , ( 1 ) ∀ x ∈ F , t < x , x = t + r , t ∈ E ( B ( t + r , δ ) \ { t + r } ) ∩ F ≠ ∅ = > ( B ( t , δ ) \ { t } ) ∩ E ≠ ∅ ( 2 ) ∀ x ∈ F , t > x , x = t − r , t ∈ E ( B ( t − r , δ ) \ { t − r } ) ∩ F ≠ ∅ = > ( B ( t , δ ) \ { t } ) ∩ E ≠ ∅ 证明：t \in E,x\in F,|t-x|=r,r>0 \\F是闭集，F' \subset F \\1.如果x>t=>x=t+r \\x\in F',\lim_{k\rightarrow\infty}|x_k-x|=0 \\t \in E，存在E中的互异点列\{t_k\},x_k=t_k+r \\\lim_{k\rightarrow \infty}|x_k-x|=\lim_{k\rightarrow \infty}|t_k+r-(t+r)|=0 \\=>\lim_{k\rightarrow\infty}|t_k-t|=0=>t \in E'=>E'\subset E \\2.如果x<t=>x=t-r \\x\in F',\lim_{k\rightarrow\infty}|x_k-x|=0 \\t \in E，存在E中的互异点列\{t_k\},x_k=t_k-r \\\lim_{k\rightarrow \infty}|x_k-x|=\lim_{k\rightarrow \infty}|t_k-r-(t-r)|=0 \\=>\lim_{k\rightarrow\infty}|t_k-t|=0=>t \in E'=>E'\subset E \\3.另一个证法 \\\forall \delta>0，(B(x,\delta)\backslash \{x\} )\cap F \ne \emptyset, \\(1)\forall x\in F ,t<x,x=t+r,t \in E \\(B(t+r,\delta)\backslash \{t+r\})\cap F \ne \emptyset \\=>(B(t,\delta)\backslash \{t\})\cap E \ne \emptyset \\(2)\forall x\in F ,t>x,x=t-r,t \in E \\(B(t-r,\delta)\backslash \{t-r\})\cap F \ne \emptyset \\=>(B(t,\delta)\backslash \{t\})\cap E \ne \emptyset 证明：t∈E,x∈F,∣t−x∣=r,r>0F是闭集，F′⊂F1.如果x>t=>x=t+rx∈F′,k→∞lim​∣xk​−x∣=0t∈E，存在E中的互异点列{tk​},xk​=tk​+rk→∞lim​∣xk​−x∣=k→∞lim​∣tk​+r−(t+r)∣=0=>k→∞lim​∣tk​−t∣=0=>t∈E′=>E′⊂E2.如果x<t=>x=t−rx∈F′,k→∞lim​∣xk​−x∣=0t∈E，存在E中的互异点列{tk​},xk​=tk​−rk→∞lim​∣xk​−x∣=k→∞lim​∣tk​−r−(t−r)∣=0=>k→∞lim​∣tk​−t∣=0=>t∈E′=>E′⊂E3.另一个证法∀δ>0，(B(x,δ)\{x})∩F=∅,(1)∀x∈F,t<x,x=t+r,t∈E(B(t+r,δ)\{t+r})∩F=∅=>(B(t,δ)\{t})∩E=∅(2)∀x∈F,t>x,x=t−r,t∈E(B(t−r,δ)\{t−r})∩F=∅=>(B(t,δ)\{t})∩E=∅
• $R^n中任一有界无限点集E至少有一个极限点$
• ( B ( x , δ ) \ { x } ) ∩ E = ∅ = > x 为 E 的孤立点 , x ∈ E \ E ′ (B(x,\delta)\backslash \{x\} )\cap E = \emptyset=>x为E的孤立点,x \in E\backslash E' (B(x,δ)\{x})∩E=∅=>x为E的孤立点,x∈E\E′
• E ⊂ R 2 , E y = { x ∈ R : ( x , y ) ∈ E } , E y 为 E 在 R 的投影。若 F ⊂ R 2 是闭集，则 F y 也是闭集 E \subset R^2,E_y=\{x\in R:(x,y) \in E\},E_y为E在R的投影。若F\subset R^2是闭集，则F_y也是闭集 E⊂R2,Ey​={x∈R:(x,y)∈E},Ey​为E在R的投影。若F⊂R2是闭集，则Fy​也是闭集
  证明： 1. E ⊂ R 2 , F ′ ⊂ F , F y = { x ∈ R : ( x , y ) ∈ F } ∀ ( x 0 , y 0 ) ∈ F ′ ⊂ F , x 0 ∈ F y ′ ⊂ F y 证明：1.E\subset R^2,F' \subset F,F_y=\{x\in R:(x,y) \in F\} \\\forall (x_0,y_0)\in F'\subset F,x_0 \in F_y'\subset F_y \\ 证明：1.E⊂R2,F′⊂F,Fy​={x∈R:(x,y)∈F}∀(x0​,y0​)∈F′⊂F,x0​∈Fy′​⊂Fy​

连续点和孤立点

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连续点和孤立点是描述函数在特定点附近行为的重要概念。下面我们将分别解释这两个概念。

连续点

设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 上的函数，$x_0\in I$。如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，都存在一个正数 $\delta$，使得当 $x\in I$ 且 $|x-x_0|<\delta$ 时，都有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$x_0$ 是 $f(x)$ 的连续点。

简单来说，如果函数在 $x_0$ 处的极限值等于函数在该点的函数值，并且这个性质在 $x_0$ 的邻域内都成立（即函数值在该点附近不会突然“跳跃”或“断裂”），则称 $x_0$ 为连续点。

孤立点

在实变函数或更一般的集合论中，孤立点通常指的是在某个集合中，与集合中其他点都不相邻（即不存在其他点在该点的某个邻域内）的点。但在函数连续性的上下文中，孤立点通常不是直接讨论的对象，因为连续性的定义是全局的（考虑邻域内的所有点），而不是基于单个点的“孤立”性质。

然而，如果我们从函数图像或定义域的角度来考虑，一个函数在其定义域内的某个点 $x_0$，如果 $x_0$ 的邻域内除了 $x_0$ 本身外没有其他定义点（即 $x_0$ 是定义域中的一个孤立点），那么讨论 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的连续性就变得有些微妙。在这种情况下，如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义，我们通常不会说 $x_0$ 是 $f(x)$ 的“孤立点”（在连续性的语境下），因为连续性的定义要求考虑邻域内的点，而孤立点没有这样的邻域点可供比较。

但如果我们是在讨论函数定义域的拓扑性质，那么 $x_0$ 作为一个孤立点，其本身的连续性（或更准确地说，在该点上的函数值）对整体函数的连续性没有直接影响，因为连续性的定义是基于邻域内点的相互关系的。

总结

• 连续点：函数在该点处的极限值等于函数值，且该性质在邻域内成立。
• 孤立点（在函数连续性的语境下）：通常不是直接讨论的对象，因为连续性的定义要求考虑邻域内的点。但如果从定义域的拓扑性质来看，孤立点指的是没有邻域点的点，其对函数在该点的连续性没有直接影响。

实变函数中的连续点集

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在实变函数论中，连续点是指函数在该点处满足连续性定义的点。具体来说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处连续，那么对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在一个正数$\delta$，使得当$x$满足$|x-x_0|<\delta$时，都有$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。

在实变函数论中，连续点集是一个重要的概念。特别是，对于定义在开集$G\subset {\mathbb{R}}^n$上的实值函数$f(x)$，其连续点集具有特定的性质。具体来说，有以下结论：

• 连续点集是Gδ集：如果$f(x)$是定义在开集$G\subset {\mathbb{R}}^n$上的实值函数，那么$f(x)$的连续点集是Gδ集。这里，Gδ集是指可数个开集的交集。这个结论可以通过分析函数连续性的定义和开集的性质来证明。

Gδ集的定义与性质

• 定义：若$E\subset {\mathbb{R}}^n$是可数个开集的交集，则称$E$为Gδ集（或Gδ型集）。
• 性质：
  • Gδ集的补集是Fσ集（可数个闭集的并集）。
  • 在实变函数论中，许多重要的点集都是Gδ集，如连续函数的连续点集、可测集的边界等。

示例与证明

以函数连续点的结构为例，假设$f(x)$是定义在开集$G\subset {\mathbb{R}}^n$上的实值函数，我们可以证明其连续点集是Gδ集。具体证明过程如下：

• 令${\omega }_f(x)$为$f(x)$在$x$点处的振幅，即 ω f ( x ) = lim ⁡ δ → 0 sup ⁡ { ∣ f ( y ) − f ( z ) ∣ : y , z ∈ B ( x , δ ) ∩ G } \omega_f(x) = \lim_{\delta \to 0} \sup\{|f(y) - f(z)|: y, z \in B(x, \delta) \cap G\} ωf​(x)=limδ→0​sup{∣f(y)−f(z)∣:y,z∈B(x,δ)∩G}。
• 根据函数连续性的定义，$f(x)$在$x_0$处连续等价于${\omega }_f(x_0)=0$。
• 对于任意正整数$k$，集合 { x ∈ G : ω f ( x ) < 1 k } \{x \in G: \omega_f(x) < \frac{1}{k}\} {x∈G:ωf​(x)<k1​}是开集（因为振幅小于某个正数可以通过限制邻域大小来实现）。
• 因此，$f(x)$的连续点集可以表示为 ⋂ k = 1 ∞ { x ∈ G : ω f ( x ) < 1 k } \bigcap_{k=1}^\infty \{x \in G: \omega_f(x) < \frac{1}{k}\} ⋂k=1∞​{x∈G:ωf​(x)<k1​}，这是一个Gδ集。

结论

在实变函数论中，连续点集是一个重要的研究对象。通过将其与Gδ集联系起来，我们可以利用集合论的方法深入研究函数的连续性质。同时，这也体现了实变函数论作为数学分析深入与推广的学科特点。

闭集，闭套集定理

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在拓扑学和数学分析中，闭集是一个重要的概念，它与开集相对。闭套集定理（也称为闭包定理或闭集套定理）是闭集性质的一个重要应用。下面我们先介绍闭集的一些基本性质，然后阐述闭套集定理。

闭集的性质

设 $X$ 是一个拓扑空间，$A\subseteq X$。

1. 定义：如果 $X-A$（即 $A$ 的补集）是开集，则称 $A$ 是闭集。

2. 闭集的并：任意多个闭集的并集仍然是闭集。

3. 闭集的交：有限多个闭集的交集仍然是闭集。但需要注意的是，无限多个闭集的交集不一定是闭集（尽管在大多数常见的拓扑空间中，如欧几里得空间，它是闭集）。

4. 闭集的闭包：对于任意子集 $B\subseteq X$，存在包含 $B$ 的最小闭集，称为 $B$ 的闭包，记作 $\overline{B}$。闭包具有包含性（即 $B\subseteq \overline{B}$）和最小性（即如果 $C$ 是包含 $B$ 的闭集，则 $\overline{B}\subseteq C$）。

5. 内部与闭包：对于任意子集 $B\subseteq X$，$B$ 的内部（记作 $B^{\circ }$）是包含 $B$ 的最大开集，而 $\overline{B}$ 是包含 $B$ 的最小闭集。它们满足 $B^{\circ }\subseteq B\subseteq \overline{B}$。

闭套集定理（闭集套定理）

定理：设 { F n } \{F_n\} {Fn​} 是 $X$ 中的一列闭集，且满足 $F_1\supseteq F_2\supseteq F_3\supseteq \cdots$（即每个闭集都包含它的后继闭集）。如果 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{F}_n\ne \varnothing$（即这些闭集的交集非空），则 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{F}_n$ 是一个闭集。

注意：实际上，这个定理的“闭集”结论在大多数情况下是显然的，因为任意多个闭集的交集（无论有限还是无限）都是闭集。闭套集定理的真正价值在于它说明了在特定条件下（即闭集套且交集非空），这个交集不仅存在，而且还是一个闭集。

应用：闭套集定理在证明某些极限存在性时非常有用，特别是在分析学中处理序列、函数列或更一般的集合列的极限时。例如，在证明某些类型的函数序列（如单调函数序列）的极限函数存在时，闭套集定理可以提供一个简洁的证明方法。

参考文献

1.文心一言
2.《实变函数论》 周民强
3.《实变解题指南》 周民强

原文地址：https://blog.csdn.net/sakura_sea/article/details/140577148

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