C++二叉搜索树

1. ⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值

• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值

• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树（用于查找）

注意：二叉树本身存储数据并无意义。相比之下不如链表和顺序表。

（二分查找问题：排序+数组不方便插入和删除，造成二分查找并不方便的原因。根本原因：底层是数组）

2. ⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其查找效率为：O(log2N)

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其查找效率为：O(N/2) 

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。 另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。（说人话，就是要使用数组才可以）

2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数 据。 这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

注释：左侧是二叉搜索树的最差情况。

3.二叉树的实现

3.1 ⼆叉搜索树的插⼊

插⼊的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位 置，插⼊新结点。

3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

这里可以说实现相等值插入和相等值不插入两种情况。

插入代码实现如下：

bool Insert(const K& key,const V& value)
{
if (_root == nullptr)//树为空
{
Node* newnode = new Node(key,value);
_root = newnode;
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* curparent = _root;//找父母节点
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
curparent = cur;//更新父母节点
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
curparent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;//相同的值不再插入
}
}
//此处找到了cur该插入的位置和其父亲的结点
cur = new Node(key,value);//把cur实例化
if (key > curparent->_key)
{
curparent->_right = cur;
}
else
{
curparent->_left = cur;
}
return true;
}

3.2⼆叉搜索树的查找

1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。

2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。返回false

3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回.

4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要 找到1的右孩⼦的那个3返回

查找代码实现：

Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}

3.3 ⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。 如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩⼦均为空

2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空

3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空

前三点方法基本相同，与第四点相差

前三点代码实现：

//当需要删除的结点的左子树为空的时候
if (cur->_left == nullptr)
{
//如果要删除的树是根节点的话，根节点要换位
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
return true;
}
else
{
//父亲节点接管不为空的子树
if (curparent->_left == cur)
{
curparent->_left = cur->_right;
}
else
{
curparent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
return true;
}
}
//当需要删除的右子树为空的时候，同理
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
return true;
}
else
{
if (curparent->_left == cur)
{
curparent->_left = cur->_left;
}
else
{
curparent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空 对应以上四种情况的解决⽅案：

（1）. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样 的）

（2）. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点

（3）. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点

注意：1.当cur左右子树都是空的时候， 诸如“curparent->_left = cur->_right;”这一步，

都使得curparent->_left指向了cur->_right空指针。所以前三点都是等价的。

           2.当删除的节点是根节点时，需要改变根节点

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

（4）. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的 位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结 点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

//找cur结点的左子树的最大值或者是右子树的最小值来替代,这里来实现右子树的最小值
Node* replace = cur->_right;
Node* replaceparent = _root;//记录替代节点的父亲节点
while (replace->_left)
{
replaceparent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;//替换掉值
//删除替换的节点
if (replaceparent->_left == replace)
{
replaceparent->_left = nullptr;
}
else
{
replaceparent->_right = replace->_right;
}
delete replace;
return true;

7. ⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

7.1 key搜索场景：

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结 构了。 场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的 ⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆ 法进⼊。 场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单 词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

7.2 key/value搜索场景：

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存 储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查 找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修 改key破坏搜索树结构了，可以修改value。

 场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2：各种水果出现的次数，读取⼀个水果，查找水果是否存在，不存在这个说明第⼀次 出现，（水果，1），水果存在，则++水果数显的次数。

下面是完整的实现代码：

Test.cpp

#include"BinartSearchTree.h"
void TestBSTree()
{
BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("insert", "插入");
dict.Insert("erase", "删除");
dict.Insert("left", "左边");
dict.Insert("string", "字符串");

string str;
while (cin >> str)
{
auto ret = dict.Find(str);
if (ret)
{
cout << str << ":" << ret->_value << endl;
}
else
{
cout << "单词拼写错误" << endl;
}
}
dict.Erase("erase");
string strs[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "樱桃", "苹果", "樱桃", "苹果", "樱桃", "苹果" };
// 统计水果出现的次
BSTree<string, int> countTree;
for (auto str : strs)
{
auto ret = countTree.Find(str);
if (ret == NULL)
{
countTree.Insert(str, 1);
}
else
{
ret->_value++;
}
}
countTree.Inorder();
}
int main()
{
/*BSTree<int,int> test1;
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };
for (auto e : a)
{
test1.Insert(e);
}
test1.Inorder();
cout << endl;
bool res = test1.Find(22);
cout << res << endl;
for (auto w : a)
{
test1.Erase(w);
test1.Inorder();
cout << endl;
}*/

TestBSTree();

}

BinartTree.h

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;

template<class K,class V>
struct BSTNode
{
//单个节点的定义
K _key;
V _value;
BSTNode<K,V>* _left;
BSTNode<K,V>* _right;

//构造
BSTNode(const K& k,const V& value)
:_key(k)
,_value(value)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{}
};

template <class K,class V>
class BSTree
{
public:
using Node = BSTNode<K,V>;
//强制默认构造
BSTree() = default;

BSTree& operator=(BSTree tmp)
{
swap(_root, tmp._root);
return *this;
}

~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}

BSTree(const BSTree& root)
{
_root = Copy(root);
}
bool Insert(const K& key,const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
Node* newnode = new Node(key,value);
_root = newnode;
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* curparent = _root;//找父母节点
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
curparent = cur;//更新父母节点
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
curparent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;//相同的值不再插入
}
}
//此处找到了cur该插入的位置和其父亲的结点
cur = new Node(key,value);//把cur实例化
if (key > curparent->_key)
{
curparent->_right = cur;
}
else
{
curparent->_left = cur;
}
return true;
}
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
}

Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* curparent = nullptr;//记录cur的父亲节点
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
curparent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
curparent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//当需要删除的结点的左子树为空的时候
if (cur->_left == nullptr)
{
//如果要删除的树是根节点的话，根节点要换位
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
return true;
}
else
{
//父亲节点接管不为空的子树
if (curparent->_left == cur)
{
curparent->_left = cur->_right;
}
else
{
curparent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
return true;
}
}
//当需要删除的右子树为空的时候，同理
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
return true;
}
else
{
if (curparent->_left == cur)
{
curparent->_left = cur->_left;
}
else
{
curparent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
else
{
//找cur结点的左子树的最大值或者是右子树的最小值来替代,这里来实现右子树的最小值
Node* replace = cur->_right;
Node* replaceparent = _root;//记录替代节点的父亲节点
while (replace->_left)
{
replaceparent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;//替换掉值
//删除替换的节点
if (replaceparent->_left == replace)
{
replaceparent->_left = nullptr;
}
else
{
replaceparent->_right = replace->_right;
}
delete replace;
return true;
}
}
}
return false;
}
private:

void _Inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_Inorder(root->_left);
cout << root->_key<<":"<<root->_value;
_Inorder(root->_right);
}
Node* Copy(const Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return nullptr;
}
Node* temp = new Node(root->_key);
temp->_left = Copy(root->_left);
temp->_right = Copy(root->_right);
return temp;
}
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;

Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};

原文地址：https://blog.csdn.net/WG_17/article/details/142369324

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