【匹配】匈牙利匹配算法
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0. 前言
匈牙利匹配算法
1. 正文
1.1 基础概念
二分图
顶点分为两个集合，集合间顶点相连，集合内点不相连
匹配
一个匹配就是一个边的集合，其中，任意两条边不存在公共的顶点
最大匹配
上图中，我们能找到多组匹配，在这其中，所含匹配变数最多的的匹配，成为最大匹配。
交替路
从一个未匹配的点出发，依次经过非匹配边，匹配边，非匹配边，这样形成的路称为交替路
增广路
从一个未匹配的点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（起点不算），则这条交替路称为增广路
1.2 算法流程
1.2.1 通俗理解
概括： 先到先得，能让则让
对于如下已有的匹配，我们需要寻找他的最大匹配。
1.2.2 步骤
下面以经典的配对情景进行说明。
现在有boys和girls两个点集，每个人有各自的暧昧对象（可能有多个），现在要把他们配情侣，最多能配多少对？（即，寻找最大匹配数）
说明：
- 边表示暧昧关系
注意：
- 不能搞基哦
- 不能脚踏多只船
先从B1看起，他与G2有暧昧，那么先暂时他们配成一对。
注意： 这里突出了先到先得
再看B2，B2也可G2纠缠不清，那么我们看G2现在有男友吗？有的，是B1。那B1有没有其他暧昧对象呢？花心男果然是花心男，还有一个G4，同时，G4还没有安排对象。那么把B1和G4配成一对。
注意： 这里突出了能让则让
再接着，我们看B3，他这G1直接配对就好。
最后我们看B4，他的暧昧对象是G4，但是G4现在已经有男友了。按照之前的思路，往前到，看看能不能让一让的。发现没法让，所以B4只能单着了。
同时，G3也只能单着。
注意： 这里依然是能让则让，让不了也没法
至此，找到一个了最大匹配，但是最大匹配不是固定的。如果从girls这边开始或者从B4开始情况可能就不一样了。但是最大匹配数是一样的。
1.2.3 代码实现
int M,N; // M,N 分表表示左右则集合的元素个数
int Map[MAXM][MAXN]; // 邻接矩阵存图
int p[MAXN]; // 记录当前右侧元素所对应的左侧元素
bool vis[MAXN]; // 记录右侧元素是否已被访问过
bool match(int i){
for(int j=1;j<=N;++j){
// 有边且未访问
if(Map[i][j]&&!vis[j]){
vis[j] = true; // 记录访问过
// 无匹配 或者 原匹配左侧元素可以找到新的匹配
if(p[j]==0 || match(p[j])){
p[j]=i; // 当前左侧元素成为当前右侧元素的新匹配
return true // 返回匹配成功
}
}
}
return false;
}
int Hungarian(){
int cnt =0;
for(int i=1; i<=N; ++i){
memset(vis,false,sizeof(vis)); // 重置vis数组
if(match(i)) cnt++;
}
return cnt
}
1.3 最小点覆盖问题
另外一个关于二分图的问题是求最小点覆盖：我们想找到最少的一些点，使二分图所有的边都至少有一个端点在这些点之中。倒过来说就是，删除包含这些点的边，可以删掉所有边。
（König定理）:
一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。
1.4 应用
1.4.1 案例一
题目：
面对OIBH组织的嚣张气焰, 柯南决定深入牛棚, 一探虚实.
他经过深思熟虑, 决定从OIBH组织大门进入…
OIBH组织的大门有一个很神奇的锁.
锁是由M*N个格子组成, 其中某些格子凸起(灰色的格子). 每一次操作可以把某一行或某一列的格子给按下去.
如果柯南能在组织限定的次数内将所有格子都按下去, 那么他就能够进入总部. 但是OIBH组织不是吃素的, 他们的限定次数恰是最少次数.
请您帮助柯南计算出开给定的锁所需的最少次数.
读入/Input：
第一行 两个不超过100的正整数N, M表示矩阵的长和宽
以下N行 每行M个数 非0即1 1为凸起方格
输出/Output：
一个整数 所需最少次数
如果我们把样例的矩阵，转化为二分图的形式，是这样的：
按下一行或一列，其实就是删掉与某个点相连的所有边。现在要求最少的操作次数，想想看，这不就是求最小点覆盖数吗？所以直接套匈牙利算法即可。代码略。
参考
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/96229700
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/62981901
原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_39190382/article/details/131760779
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