平面方程的几种形式
平面方程
一、一般方程
A
(
x
−
x
0
)
+
B
(
y
−
y
0
)
+
C
(
z
−
z
0
)
+
D
=
0
A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) + D = 0
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)+D=0
法向量:
n
^
=
(
A
,
B
,
C
)
\mathbf{\hat n} = (A, B, C)
n^=(A,B,C)
二、点法式
n ^ ⋅ ( p − p 0 ) = 0 \mathbf{\hat n} \cdot (p-p_0) = 0 n^⋅(p−p0)=0
- n ^ \mathbf{\hat n} n^ 是平面的法向量。
- p p p 是平面上的任意一点。
- $p_0 $是平面上的一个已知点。
三、距离和法线
已知沿法向量方向平面到原点的垂直距离为 h e i g h t height height, 法向量: n ^ = ( A , B , C ) \mathbf{\hat n} = (A, B, C) n^=(A,B,C)。
高度
height 是从原点到平面的垂直距离，即沿着法向量方向的距离
单位法向量
将法向量
n
^
\mathbf{\hat n}
n^ 归一化为单位向量。单位向量是具有相同方向但长度为1的向量。计算方法为：
n
^
=
n
∣
n
∣
=
(
A
A
2
+
B
2
+
C
2
,
B
A
2
+
B
2
+
C
2
,
C
A
2
+
B
2
+
C
2
)
\hat{\mathbf{n}} = \frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|} = \left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right)
n^=∣n∣n=(A2+B2+C2A,A2+B2+C2B,A2+B2+C2C)
利用高度确定平面上的一点
沿着单位法向量方向移动这一距离以找到平面上的一点
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
(x_0,y_0,z_0)
(x0,y0,z0)
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
=
h
e
i
g
h
t
⋅
n
^
=
(
h
e
i
g
h
t
⋅
A
A
2
+
B
2
+
C
2
,
h
e
i
g
h
t
⋅
B
A
2
+
B
2
+
C
2
,
h
e
i
g
h
t
⋅
C
A
2
+
B
2
+
C
2
)
(x_0,y_0,z_0) = height \cdot \mathbf{\hat n} = \left( height \cdot \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, height \cdot \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, height \cdot \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right)
(x0,y0,z0)=height⋅n^=(height⋅A2+B2+C2A,height⋅A2+B2+C2B,height⋅A2+B2+C2C)
表示: 从原点沿着单位法向量方向移动了 height 的距离，达到了平面上的某一点。
代入点法式方程
A
(
x
−
x
0
)
+
B
(
y
−
y
0
)
+
C
(
z
−
z
0
)
=
0
A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
A ( x − h e i g h t ⋅ A A 2 + B 2 + C 2 ) + B ( y − h e i g h t ⋅ B A 2 + B 2 + C 2 ) + C ( z − h e i g h t ⋅ C A 2 + B 2 + C 2 ) = 0 A(x - height \cdot \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}) + B(y - height \cdot \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}) + C(z - height \cdot \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}) = 0 A(x−height⋅A2+B2+C2A)+B(y−height⋅A2+B2+C2B)+C(z−height⋅A2+B2+C2C)=0
简化方程
展开和简化得到:
A
x
−
h
e
i
g
h
t
⋅
A
2
A
2
+
B
2
+
C
2
+
B
x
−
h
e
i
g
h
t
⋅
B
2
A
2
+
B
2
+
C
2
+
C
x
−
h
e
i
g
h
t
⋅
C
2
A
2
+
B
2
+
C
2
=
0
Ax - \frac{height \cdot A^2}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} + Bx - \frac{height \cdot B^2}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} + Cx - \frac{height \cdot C^2}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = 0
Ax−A2+B2+C2height⋅A2+Bx−A2+B2+C2height⋅B2+Cx−A2+B2+C2height⋅C2=0
进一步整理:
A
x
+
B
x
+
C
x
=
h
e
i
g
h
t
⋅
(
A
2
+
B
2
+
C
2
)
A
2
+
B
2
+
C
2
Ax + Bx + Cx = height \cdot \frac{ (A^2 + B^2 + C^2)}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
Ax+Bx+Cx=height⋅A2+B2+C2(A2+B2+C2)
因为:
(
A
2
+
B
2
+
C
2
)
1
(
A
2
+
B
2
+
C
2
)
1
2
=
A
2
+
B
2
+
C
2
\frac{ (A^2 + B^2 + C^2)^1}{(A^2 + B^2 + C^2)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}
(A2+B2+C2)21(A2+B2+C2)1=A2+B2+C2
所以最后得到:
A
x
+
B
x
+
C
x
=
h
e
i
g
h
t
Ax + Bx + Cx = height
Ax+Bx+Cx=height
n
⋅
p
=
h
e
i
g
h
t
\bold{n} \cdot p = height
n⋅p=height
p
p
p 是平面上的任意一点
h
e
i
g
h
t
height
height 的正负取决于法向量的方向
原文地址：https://blog.csdn.net/qq_21476953/article/details/140493044
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