线性代数（第三章：向量）
一、向量的基础知识
1. 向量的概念与运算
1）向量的定义
n 个数 a1 , a2 , … , an 构成的有序数组 (a1 , a2 , … , an)T 或 (a1 , a2 , … , an) 称为 n 维向量。
2）向量的运算
设 α = (a1 , a2 , a3)T ，β = (b1 , b2 , b3)T
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自己和自己的内积 = 模长的平方：(α , α) = αTα = a12 + a22 + a32 ≥ 0
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自己和自己的内积为 0 ⇔ 0 向量：(α , α) = αTα = 0 ⇔ α = 0
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自己和别人的内积为 0：正交向量
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(α , α) = (α , β) = αTβ = βTα（对称性）
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(α , k1β1+k2β2) = k1(α , β1) + k2(α , β2)
2. 向量的线性相关性
1）线性相关
定义：设若存在不全为零的一组数 k1 , k2 ,…, ks ，使得 k1α1 + k2α2 + … + ksαs = 0 ，则称 α1 , α2 ,…, αs 线性相关。
几何理解：
- 两个向量 α1 , α2 线性相关，则 α1 , α2 共线；
- 三个向量 α1 , α2 , α3 线性相关，则 α1 , α2 , α3 共面。
线性相关性判定：
- 用秩：r(α1 , α2 ,…, αs) < s（向量个数）
- 用行列式（方阵）
若向量组的秩 = 向量个数 ，则无关；若向量组的秩 < 向量个数 ，则相关。
2）线性无关
定义：若 k1α1 + k2α2 + … + ksαs = 0 ，当且仅当 k1 = k2 =…= ks = 0 ，则称 α1 , α2 ,…, αs 线性无关。
线性无关性判定：
- 用定义，写出 k1α1 + k2α2 + … + ksαs = 0 ，证出 k1 = k2 =…= ks = 0
- 用秩：r(α1 , α2 ,…, αs) = s（向量个数）
- 用行列式（方阵）
3. 线性表示
1）线性表示的定义
若存在一组数 k1 , k2 ,…, ks ，使得 β = k1α1 + k2α2 + … + ksαs ，则称 β 可由 α1 , α2 ,…, αs 线性表示。
2）线性表示的判定
线性表示与向量组的秩之间的联系：
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若 r(α1 , α2 ,…, αn) ≠ r(α1 , α2 ,…, αn , β) ⇔ Ax = β 无解 ⇔ β 不可由向量组 α1 , α2 ,…, αn 表示
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若 r(α1 , α2 ,…, αn) = r(α1 , α2 ,…, αn , β) = n ⇔ Ax = β 有唯一解 ⇔ β 可以由向量组 α1 , α2 ,…, αn 表示且唯一表示
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若 r(α1 , α2 ,…, αn) = r(α1 , α2 ,…, αn , β) < n ⇔ Ax = β 有无穷多解 ⇔ β 可以由向量组 α1 , α2 ,…, αn 表示且无穷多表示
3）总结
① 方阵向量组的线性相关性（ n 个 n 维向量：方阵）
a）α1 , α2 ,…, αn 线性相关 ⇔ r(α1 , α2 ,…, αn) < n ⇔ |α1 , α2 ,…, αn| = 0
b）α1 , α2 ,…, αn 线性无关 ⇔ r(α1 , α2 ,…, αn) = n ⇔ |α1 , α2 ,…, αn| ≠ 0
c）r(A) = 行数 ⇔ A 的行向量组线性无关；r(A) < 行数 ⇔ A 的行向量组线性相关。
d）r(A) = 列数 ⇔ A 的列向量组线性无关；r(A) < 列数 ⇔ A 的列向量组线性相关。
② 一个向量被一个向量组表出问题（核心：非齐次线性方程组）
向量 β 可由向量组 α1 , α2 ,…, αm 线性表示
⇔ Ax = β 有解，其中 A = (α1 , α2 ,…, αm)
⇔ r(A) = r(A,β)
⇔ r(α1 , α2 ,…, αm) = r(α1 , α2 ,…, αm , β)
③ 一个向量组被一个向量组表出问题（核心：矩阵方程）
向量组 β1 , β2 ,…, βs 可由向量组 α1 , α2 ,…, αm 线性表示
⇔ 矩阵方程 AX = B 有解，其中 A = (α1 , α2 ,…, αm) ，B = (β1 , β2 ,…, βs)
⇔ r(A) = r(A,B)
⇔ r(A) ≥ r(B)
④ 线性相关性与秩、方程组的解、行列式之间的关系
给定 n 维列向量 α1 , α2 ,…, αm ，记 A = (α1 , α2 ,…, αm)
a）α1 , α2 ,…, αm 线性相关 ⇔ Ax = 0 有非零解 ⇔ r(A) < m ⇔ r(α1<
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