数学分析复习：中值定理、反函数定理
本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
中值定理
定理：Rolle（罗尔）中值定理
设实值函数
f
∈
C
0
[
a
,
b
]
f\in C^0[a,b]
f∈C0[a,b] 且在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 上可微，若
f
(
a
)
=
f
(
b
)
f(a)=f(b)
f(a)=f(b)，则存在
x
0
∈
(
a
,
b
)
x_0\in(a,b)
x0∈(a,b)，使得
f
′
(
x
0
)
=
0
f'(x_0)=0
f′(x0)=0
证明
设
f
f
f 非常值函数，设
x
0
x_0
x0 是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的最大值，则
f
′
(
x
0
)
=
0
f'(x_0)=0
f′(x0)=0
定理：Lagrange（拉格朗日）中值定理
设实值函数
f
∈
C
0
[
a
,
b
]
f\in C^0[a,b]
f∈C0[a,b] 且在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 上可微，则存在
x
0
∈
(
a
,
b
)
x_0\in(a,b)
x0∈(a,b)，使得
f
′
(
x
0
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
f′(x0)=b−af(b)−f(a)
证明思路
构造辅助函数
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
(
x
−
a
)
g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
g(x)=f(x)−b−af(b)−f(a)(x−a) 以及Rolle中值定理可得
反函数定理
定理：反函数定理
设开区间
I
⊂
R
I\subset \mathbb{R}
I⊂R，
f
∈
C
1
(
I
;
R
)
f\in C^1(I;\mathbb{R})
f∈C1(I;R)，即连续可微的实值函数，若
f
′
(
x
0
)
≠
0
f'(x_0)\neq 0
f′(x0)=0，那么
f
f
f 在
x
0
x_0
x0 的一个邻域内是
C
1
C^1
C1 同胚，即
f
f
f 在
x
0
x_0
x0 的某邻域内是有连续逆的双射
证明思路
不妨设
f
′
(
x
0
)
>
0
f'(x_0)>0
f′(x0)>0，则在
x
0
x_0
x0 附近
f
′
(
x
0
)
>
0
f'(x_0)>0
f′(x0)>0，则
f
f
f 严格单调递增，则
f
−
1
f^{-1}
f−1 存在且可微，又
(
f
−
1
)
′
(
y
)
=
1
f
′
(
f
−
1
(
y
)
)
(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}
(f−1)′(y)=f′(f−1(y))1 说明
f
−
1
f^{-1}
f−1 连续可微
推论
上述定理若进一步要求
f
f
f 是光滑的（即无限次可微），则
f
−
1
f^{-1}
f−1 也光滑
参考书：
- 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
- 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
- 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著
原文地址：https://blog.csdn.net/2301_76884115/article/details/137999025
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