数学分析复习:三角函数的周期性
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本篇文章适合个人复习翻阅,不建议新手入门使用
三角函数的周期性
本节的主题是研究三角函数的周期性,我们之前已经解析地定义三角函数为
cos
x
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
2
k
(
2
k
)
!
,
sin
x
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
\cos{x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!},\sin{x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}
cosx=k=0∑∞(2k)!(−1)kx2k,sinx=k=0∑∞(2k+1)!(−1)kx2k+1
设函数
F
:
R
→
R
2
,
x
↦
F
(
x
)
=
(
sin
x
cos
x
)
F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,x\mapsto F(x)=\begin{pmatrix} \sin{x}\\\cos{x}\\ \end{pmatrix}
F:R→R2,x↦F(x)=(sinxcosx)
记 S ( x ) = sin x , C ( x ) = cos x S(x)=\sin{x},C(x)=\cos{x} S(x)=sinx,C(x)=cosx
记矩阵
J
=
(
0
1
−
1
0
)
J=\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix}
J=(0−110),则容易发现
F
F
F 满足如下的微分方程
{
F
′
=
J
F
f
∣
x
=
0
=
(
0
1
)
\begin{cases} F'=JF\\ f|_{x=0}=\begin{pmatrix} 0\\1\\ \end{pmatrix} \end{cases}
⎩
⎨
⎧F′=JFf∣x=0=(01)
命题:微分方程解的存在唯一性
设
f
∈
C
0
[
a
,
b
]
f\in C^0[a,b]
f∈C0[a,b] 且
f
f
f 在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 上可微,若
f
′
(
x
)
≡
0
f'(x)\equiv 0
f′(x)≡0 且
f
(
a
)
=
c
f(a)=c
f(a)=c,则
f
(
x
)
≡
c
f(x)\equiv c
f(x)≡c,或等价地说,如下的常微分方程
{
f
′
(
x
)
=
0
f
∣
x
=
a
=
c
\begin{cases} f'(x)=0\\ f|_{x=a}=c\\ \end{cases}
{f′(x)=0f∣x=a=c 存在唯一的解
证明(Lagrange中值定理)
反证法,若存在某个
x
1
∈
(
a
,
b
)
x_1\in (a,b)
x1∈(a,b) 使得
f
(
x
1
)
≠
c
f(x_1)\neq c
f(x1)=c,则在
[
a
,
x
1
]
[a,x_1]
[a,x1] 上使用 Lagrange中值定理,存在
x
0
∈
(
a
,
x
1
)
x_0\in(a,x_1)
x0∈(a,x1),使得
f
′
(
x
0
)
=
f
(
x
1
)
−
c
x
1
−
a
≠
0
f'(x_0)=\frac{f(x_1)-c}{x_1-a}\neq 0
f′(x0)=x1−af(x1)−c=0矛盾
命题
S
(
x
)
S(x)
S(x) 和
C
(
x
)
C(x)
C(x) 是周期函数
证明
首先由
C
′
(
x
)
=
−
S
(
x
)
C'(x)=-S(x)
C′(x)=−S(x) 可证
0
0
0 是
C
(
x
)
C(x)
C(x) 的一个极大值点;
第二,说明存在一个 A > 0 A>0 A>0,使得在 [ 0 , A ] [0,A] [0,A] 上, C ( x ) C(x) C(x) 单调递减且 C ( A ) = 0 C(A)=0 C(A)=0
要说明
A
A
A 的存在性,只需说明
A
≠
+
∞
A\neq +\infty
A=+∞,用反证法,由
C
(
x
)
>
0
C(x)>0
C(x)>0 得
S
(
x
)
S(x)
S(x) 严格单调递增,又对
x
≥
δ
x\geq \delta
x≥δ
S
(
x
)
≥
S
(
δ
)
⇔
(
C
(
x
)
+
s
x
)
′
<
0
S(x)\geq S(\delta)\Leftrightarrow (C(x)+sx)'<0
S(x)≥S(δ)⇔(C(x)+sx)′<0 从而
C
(
δ
)
+
s
δ
≥
C
(
x
)
+
s
x
>
s
x
C(\delta)+s\delta\geq C(x)+sx>sx
C(δ)+sδ≥C(x)+sx>sx这显然不可能
第三,重复以上说明,可证存在 B > 0 B>0 B>0,使得在 [ A , A + B ] [A,A+B] [A,A+B] 上, S ( x ) S(x) S(x) 单调递减且 S ( A + B ) = 0 S(A+B)=0 S(A+B)=0
第四,定义
π
=
A
+
B
\pi =A+B
π=A+B,发现
(
−
S
(
x
+
π
)
−
C
(
x
+
π
)
)
\begin{pmatrix} -S(x+\pi)\\-C(x+\pi)\\ \end{pmatrix}
(−S(x+π)−C(x+π)) 和
(
S
(
x
)
C
(
x
)
)
\begin{pmatrix} S(x)\\C(x)\\ \end{pmatrix}
(S(x)C(x)) 均为常微分方程的解
{
F
′
=
J
F
f
∣
x
=
0
=
(
0
1
)
\begin{cases} F'=JF\\ f|_{x=0}=\begin{pmatrix} 0\\1\\ \end{pmatrix} \end{cases}
⎩
⎨
⎧F′=JFf∣x=0=(01)
由解的唯一性,得到 S ( x ) = − S ( x + π ) S(x)=-S(x+\pi) S(x)=−S(x+π),从而 S ( x ) = S ( x + 2 π ) S(x)=S(x+2\pi) S(x)=S(x+2π), 2 π 2\pi 2π 即为 S ( x ) S(x) S(x) 的周期
又因为 S ( x ) S(x) S(x) 在 ( 0 , π ) (0,\pi) (0,π) 上为正,在 ( π , 2 π ) (\pi,2\pi) (π,2π) 上为负,则 2 π 2\pi 2π 是 S ( x ) S(x) S(x) 的最小周期
类似地, 2 π 2\pi 2π 也是 C ( x ) C(x) C(x) 的最小周期
注:该证明也给出了 π \pi π 的另一种定义
参考书:
- 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
- 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
- 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著
原文地址:https://blog.csdn.net/2301_76884115/article/details/138000612
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