NOIP图论 最小生成树——Prim算法（详细图解）
最小生成树的概念
在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边，而 w(u, v) 代表此的边权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。最小生成树其实是最小权重生成树的简称。（简而言之就是把一个图变成一棵树，并且树中的边权和最小）
经典题目
P3366 【模板】最小生成树 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
https://www.luogu.com.cn/problem/P3366
（这道题的数据过大，为了简化问题，我们假定数据范围可以用一个二维数组存下）
prim算法简介
prim算法基于贪心，我们每次总是选出一个离生成树距离最小的点去加入生成树，最后实现最小生成树（不做证明，理解思想即可）
prim算法解析 （详细图解）
（随机构建一个无向图）
- 现在我们构建两个集合S（红色的点），V（蓝色的点），S集合中存放的是已近加入最小生成树的点，V集合中存放的是还没有加入最小生成树的点。显然刚开始时所有的点都在V集合中。
- 然后们先将任意一个点加入集合S中（默认为点1），并且初始化所有点（除了点1）到集合S的距离是无穷大。
- 用一个变量res存放最小生成树所有边权值的和。我们每次都选择离S集合最近的点加入S集合中，并且用新加入的点去更新dist数组，因为只有一个新的点加入到集合S中，到集合S的距离才有可能更新（贪心，每次都选最小的）。
- 更新就是看一下能否通过新加入的点使到达集合的距离变小（看下面dist数组的变化）。
- 我们开始在加入点1后开始第一次更新。
- 现在集合S={1}，集合V={2，3，4，5，6，7}，根据贪心策略，我们选择离集合S最近的点加入 ，即点2，并把这一条边的权值加到res中。
- 集合更新为S={1，2}，V={3，4，5，6，7}，并用点2去更新dist数组，我们发现点3和点7都可以都可以通过边2-3，2-7缩短到集合S得距离。
- 重复上面的步骤，直到将全部的点加入到最小生成树中。
- 3并不能更新任何点
- 这样一颗最小生成树就构建完成了，权值和是57。
代码实现
-
const
int MAXN =
1000,INF =
0x3f3f3f3f;
//定义一个INF表示无穷大。
-
int g[MAXN][MAXN],dist[MAXN],n,m,res;
-
//我们用g[][]数组存储这个图，dist[]储存到集合S的距离，res保存结果。
-
bool book[MAXN];
//用book数组记录某个点是否加入到集合S中。
-
int main()
-
{
-
cin>>n>>m;
//读入这个图的点数n和边数m
-
for(
int i =
1 ; i<= n ;i++)
-
{
-
for(
int j =
1; j <= n ;j++)
-
{
-
g[i][j] = INF;
//初始化任意两个点之间的距离为正无穷（表示这两个点之间没有边）
-
}
-
dist[i] = INF;
//初始化所有点到集合S的距离都是正无穷
-
}
-
for(
int i =
1; i <= m ; i++)
-
{
-
int a,b,w;
-
cin>>a>>b>>w;
//读入a，b两个点之间的边
-
g[a][b] = g[b][a] = w;
//由于是无向边，我们对g[a][b]和g[b][a]都要赋值
-
}
-
prim();
//调用prim函数
-
if(res==INF)
//如果res的值是正无穷，表示不能该图不能转化成一棵树，输出orz
-
cout<<
"orz";
-
else
-
cout<<res;
//否则就输出结果res
-
return
0;
-
}
-
void prim()
-
{
-
dist[
1] =
0;
//把点1加入集合S，点1在集合S中，将它到集合的距离初始化为0
-
book[
1] =
true;
//表示点1已经加入到了S集合中
-
for(
int i =
2 ; i <= n ;i++)dist[i] =
min(dist[i],g[
1][i]);
//用点1去更新dist[]
-
for(
int i =
2 ; i <= n ; i++)
-
{
-
int temp = INF;
//初始化距离
-
int t =
-1;
//接下来去寻找离集合S最近的点加入到集合中，用t记录这个点的下标。
-
for(
int j =
2 ; j <= n; j++)
-
{
-
if(!book[j]&&dist[j]<temp)
//如果这个点没有加入集合S，而且这个点到集合的距离小于temp就将下标赋给t
-
{
-
temp = dist[j];
//更新集合V到集合S的最小值
-
t = j;
//把点赋给t
-
}
-
}
-
if(t==
-1){res = INF ;
return ;}
-
//如果t==-1，意味着在集合V找不到边连向集合S，生成树构建失败，将res赋值正无穷表示构建失败，结束函数
-
book[t] =
true;
//如果找到了这个点，就把它加入集合S
-
res+=dist[t];
//加上这个点到集合S的距离
-
for(
int j =
2 ; j <= n ; j++)dist[j] =
min(dist[j],g[t][j]);
//用新加入的点更新dist[]
-
}
-
}
代码实战
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，也许看完了上面的解析，你已经最prim算法有了一个大致的了解，学习算法，大致的了解是远远不够的，代码的实践永远是最重要的，学习完一个算法后一定要去自己亲手试试，每个人都有自己的代码风格，大家大可以在自己的风格之上写出自己的prim。
| prim习题 | 简介 | 难度 |
|---|---|---|
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第一题是模板，后面两题主要是更好得帮助我们理解最小生成树——prim在实际和题目中得应用。
原文地址：https://blog.csdn.net/abilix_tony/article/details/140659292
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