算法训练营第七十三天 | Bellman_ford算法、SPFA算法、Bellman_ford之判断负权回路
算法训练营第七十三天 | Bellman_ford算法、SPFA算法、Bellman_ford之判断负权回路
Bellman_ford算法
题目链接:
https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1152
对所有边松弛一次,相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离,这里 说的是 一条边相连的节点。
与起点(节点1)一条边相邻的节点,到达节点2 最短距离是 1,到达节点3 最短距离是5。
而 节点1 -> 节点2 -> 节点5 -> 节点3 这条路线 是 与起点 三条边相连的路线了。
所以对所有边松弛一次 能得到 与起点 一条边相连的节点最短距离。
那对所有边松弛两次 可以得到与起点 两条边相连的节点的最短距离。
那对所有边松弛三次 可以得到与起点 三条边相连的节点的最短距离,这个时候,我们就能得到到达节点3真正的最短距离,也就是 节点1 -> 节点2 -> 节点5 -> 节点3 这条路线。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<vector<int>> grid;
// 将所有边保存起来
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2,权值为 val
grid.push_back({p1, p2, val});
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
minDist[start] = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) { // 对所有边 松弛 n-1 次
for (vector<int> &side : grid) { // 每一次松弛,都是对所有边进行松弛
int from = side[0]; // 边的出发点
int to = side[1]; // 边的到达点
int price = side[2]; // 边的权值
// 松弛操作
// minDist[from] != INT_MAX 防止从未计算过的节点出发
if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) {
minDist[to] = minDist[from] + price;
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unconnected" << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}
SPFA算法
题目链接:
https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1152
SPFA的称呼来自 1994年西南交通大学段凡丁的论文,其实Bellman_ford 提出后不久 (20世纪50年代末期) 就有队列优化的版本,国际上不承认这个算法是是国内提出的。 所以国际上一般称呼 该算法为 Bellman_ford 队列优化算法(Queue improved Bellman-Ford)
Bellman_ford 算法 每次都是对所有边进行松弛,其实是多做了一些无用功。
只需要对 上一次松弛的时候更新过的节点作为出发节点所连接的边 进行松弛就够了。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;
struct Edge { //邻接表
int to; // 链接的节点
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1); // 邻接表
// 将所有边保存起来
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2,权值为 val
grid[p1].push_back(Edge(p2, val));
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
minDist[start] = 0;
queue<int> que;
que.push(start); // 队列里放入起点
while (!que.empty()) {
int node = que.front(); que.pop();
for (Edge edge : grid[node]) {
int from = node;
int to = edge.to;
int value = edge.val;
if (minDist[to] > minDist[from] + value) { // 开始松弛
minDist[to] = minDist[from] + value;
que.push(to);
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unconnected" << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}
Bellman_ford之判断负权回路
题目链接:
https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1153
在没有负权回路的图中,松弛 n 次以上 ,结果不会有变化。
但本题有 负权回路,如果松弛 n 次,结果就会有变化了,因为 有负权回路 就是可以无限最短路径(一直绕圈,就可以一直得到无限小的最短距离)。
所以松弛n次,如果比n-1次要多,那么说明有负权回路,否则按照之前的解法来就行了
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<vector<int>> grid;
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2,权值为 val
grid.push_back({p1, p2, val});
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
minDist[start] = 0;
bool flag = false;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 这里我们松弛n次,最后一次判断负权回路
for (vector<int> &side : grid) {
int from = side[0];
int to = side[1];
int price = side[2];
if (i < n) {
if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) minDist[to] = minDist[from] + price;
} else { // 多加一次松弛判断负权回路
if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) flag = true;
}
}
}
if (flag) cout << "circle" << endl;
else if (minDist[end] == INT_MAX) {
cout << "unconnected" << endl;
} else {
cout << minDist[end] << endl;
}
}
原文地址:https://blog.csdn.net/qq_63149342/article/details/140052630
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