数学基础 -- 指数函数与对数函数

指数函数和对数函数

指数函数

指数函数是一类重要的数学函数，其定义形式为：
$$f(x)=a^x$$
其中 $a$ 是一个正实数且 $aeq1$，$x$ 是变量。最常用的指数函数是以自然常数 $e$ 为底的指数函数，即：
$$f(x)=e^x$$

性质

1. 基本性质：

   • $a^0=1$（任何数的 0 次方都等于 1）
   • $a^1=a$
   • $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$
   • $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$
   • $(a^x{)}^y=a^{xy}$
   • $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$

2. 导数：以自然常数 $e$ 为底的指数函数的导数是其自身，即：
   $$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$$

3. 图像特征：

   • 当 $a>1$ 时，函数 $a^x$ 是递增函数，图像从左下方向右上方上升。
   • 当 $0<a<1$ 时，函数 $a^x$ 是递减函数，图像从左上方向右下方下降。

对数函数

对数函数是指数函数的逆函数，其定义形式为：
$$y={\log }_{a}x$$
表示的是满足 $a^y=x$ 的 $y$ 值，其中 $a$ 是对数的底数，$x$ 是对数的真数，且 $a>0$ 且 $aeq1$。

最常用的对数函数是以自然常数 $e$ 为底的自然对数函数，即：
$$y=\ln x$$

性质

1. 基本性质：

   • ${\log }_{a}1=0$（任何底数的 1 次方都等于 0）
   • ${\log }_{a}a=1$
   • ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$
   • ${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$
   • ${\log }_a{x}^k=k{\log }_{a}x$

2. 导数：自然对数函数的导数为：
   $$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$

3. 图像特征：

   • 对数函数 ${\log }_{a}x$ 的图像在 $(1,0)$ 点经过。
   • 当 $a>1$ 时，函数 ${\log }_{a}x$ 是递增函数，图像从左下方向右上方上升。
   • 当 $0<a<1$ 时，函数 ${\log }_{a}x$ 是递减函数，图像从左上方向右下方下降。

关系与应用

• 逆关系：指数函数和对数函数互为逆函数，即：
  $$a^{{\log }_{a}x}=x$$
  $${\log }_a{a}^x=x$$

• 应用：指数函数和对数函数在很多领域有广泛应用，如复利计算、人口增长、放射性衰变、信息熵、数据压缩等。

例题

1. 求解指数方程：
   解方程 $2^x=8$。
   $$2^x=2^3\Rightarrow x=3$$

2. 求解对数方程：
   解方程 ${\log }_{2}x=3$。
   $${\log }_{2}x=3\Rightarrow x=2^3=8$$

原文地址：https://blog.csdn.net/sz66cm/article/details/140859575

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