数学基础 -- 指数函数与对数函数
指数函数和对数函数
指数函数
指数函数是一类重要的数学函数,其定义形式为:
f
(
x
)
=
a
x
f(x) = a^x
f(x)=ax
其中
a
a
a 是一个正实数且
a
e
q
1
a eq 1
aeq1,
x
x
x 是变量。最常用的指数函数是以自然常数
e
e
e 为底的指数函数,即:
f
(
x
)
=
e
x
f(x) = e^x
f(x)=ex
性质
-
基本性质:
- a 0 = 1 a^0 = 1 a0=1(任何数的 0 次方都等于 1)
- a 1 = a a^1 = a a1=a
- a x + y = a x ⋅ a y a^{x+y} = a^x \cdot a^y ax+y=ax⋅ay
- a x − y = a x a y a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} ax−y=ayax
- ( a x ) y = a x y (a^x)^y = a^{xy} (ax)y=axy
- a − x = 1 a x a^{-x} = \frac{1}{a^x} a−x=ax1
-
导数:以自然常数 e e e 为底的指数函数的导数是其自身,即:
d d x e x = e x \frac{d}{dx} e^x = e^x dxdex=ex -
图像特征:
- 当 a > 1 a > 1 a>1 时,函数 a x a^x ax 是递增函数,图像从左下方向右上方上升。
- 当 0 < a < 1 0 < a < 1 0<a<1 时,函数 a x a^x ax 是递减函数,图像从左上方向右下方下降。
对数函数
对数函数是指数函数的逆函数,其定义形式为:
y
=
log
a
x
y = \log_a{x}
y=logax
表示的是满足
a
y
=
x
a^y = x
ay=x 的
y
y
y 值,其中
a
a
a 是对数的底数,
x
x
x 是对数的真数,且
a
>
0
a > 0
a>0 且
a
e
q
1
a eq 1
aeq1。
最常用的对数函数是以自然常数
e
e
e 为底的自然对数函数,即:
y
=
ln
x
y = \ln{x}
y=lnx
性质
-
基本性质:
- log a 1 = 0 \log_a{1} = 0 loga1=0(任何底数的 1 次方都等于 0)
- log a a = 1 \log_a{a} = 1 logaa=1
- log a ( x y ) = log a x + log a y \log_a{(xy)} = \log_a{x} + \log_a{y} loga(xy)=logax+logay
- log a ( x y ) = log a x − log a y \log_a{\left(\frac{x}{y}\right)} = \log_a{x} - \log_a{y} loga(yx)=logax−logay
- log a x k = k log a x \log_a{x^k} = k \log_a{x} logaxk=klogax
-
导数:自然对数函数的导数为:
d d x ln x = 1 x \frac{d}{dx} \ln{x} = \frac{1}{x} dxdlnx=x1 -
图像特征:
- 对数函数 log a x \log_a{x} logax 的图像在 ( 1 , 0 ) (1, 0) (1,0) 点经过。
- 当 a > 1 a > 1 a>1 时,函数 log a x \log_a{x} logax 是递增函数,图像从左下方向右上方上升。
- 当 0 < a < 1 0 < a < 1 0<a<1 时,函数 log a x \log_a{x} logax 是递减函数,图像从左上方向右下方下降。
关系与应用
-
逆关系:指数函数和对数函数互为逆函数,即:
a log a x = x a^{\log_a{x}} = x alogax=x
log a a x = x \log_a{a^x} = x logaax=x -
应用:指数函数和对数函数在很多领域有广泛应用,如复利计算、人口增长、放射性衰变、信息熵、数据压缩等。
例题
-
求解指数方程:
解方程 2 x = 8 2^x = 8 2x=8。
2 x = 2 3 ⇒ x = 3 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3 2x=23⇒x=3 -
求解对数方程:
解方程 log 2 x = 3 \log_2{x} = 3 log2x=3。
log 2 x = 3 ⇒ x = 2 3 = 8 \log_2{x} = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8 log2x=3⇒x=23=8
原文地址:https://blog.csdn.net/sz66cm/article/details/140859575
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