MATLAB中polyeig函数用法
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polyeig函数的功能是多项式特征值问题。
语法
e = polyeig(A0,A1,...,Ap)
[X,e] = polyeig(A0,A1,...,Ap)
[X,e,s] = polyeig(A0,A1,...,Ap)
说明
e = polyeig(A0,A1,...,Ap) 返回 p 次多项式特征值问题的特征值。
[X,e] = polyeig(A0,A1,...,Ap) 还会返回大小为 n×n*p 的矩阵 X,其列是特征向量。
此外,[X,e,s] = polyeig(A0,A1,...,Ap) 返回长度为 p*n 的向量 s,其中包含特征值的条件数。A0 和 Ap 中至少有一个必须是非奇异的。条件数较大表示该问题接近于具有重复特征值的问题。
示例
质量、阻尼和刚度矩阵的二次特征值问题
解算涉及质量矩阵 M、阻尼矩阵 C 和刚度矩阵 K 的二次特征值问题。运动方程中会发生此二次特征值问题:
此方程适用于各种振荡系统,包括动态质点-弹簧系统或 RLC 电子网络。基本解是
因此 λ 和 x
都必须解算二次特征值问题 (QEP),
创建系数矩阵 M、C 和 K 来表示具有四个自由度的质点-弹簧系统。系数矩阵全部是对称矩阵和半正定矩阵,M 是对角矩阵。
M = diag([3 1 3 1])
M = 4×4
3 0 0 0
0 1 0 0
0 0 3 0
0 0 0 1
C = [0.4 0 -0.3 0; 0 0 0 0; -0.3 0 0.5 -0.2; 0 0 -0.2 0.2]
C = 4×4
0.4000 0 -0.3000 0
0 0 0 0
-0.3000 0 0.5000 -0.2000
0 0 -0.2000 0.2000
K = [-7 2 4 0; 2 -4 2 0; 4 2 -9 3; 0 0 3 -3]
K = 4×4
-7 2 4 0
2 -4 2 0
4 2 -9 3
0 0 3 -3
使用 polyeig 针对特征值、特征向量和条件数解算 QEP。
[X,e,s] = polyeig(K,C,M)
X = 4×8
0.1828 0.3421 0.3989 0.0621 0.3890 -0.4143 -0.4575 0.4563
0.3530 -0.9296 0.3330 -0.8571 -0.6366 -0.2717 -0.4981 0.4985
-0.5360 -0.0456 -0.1724 0.3509 -0.3423 0.1666 -0.5106 0.5107
0.7448 0.1295 -0.8368 -0.3720 0.5712 0.8525 -0.5309 0.5315
e = 8×1
-2.4498
-2.1536
-1.6248
2.2279
2.0364
1.4752
0.3353
-0.3466
s = 8×1
0.5813
0.8609
1.2232
0.7855
0.7012
1.2922
10.1097
10.0519
检查第一个特征值 e(1) 和第一个特征向量 X(:,1) 满足 QEP 方程。结果接近但不是零。
lambda = e(1);
x = X(:,1);
(M*lambda^2 + C*lambda + K)*x
ans = 4×1
10-13 ×
-0.0133
-0.0466
0.1465
-0.0622
多项式特征值问题
多项式特征值问题是标准特征值问题 Ax = λx 的变体,但涉及多项式而不是线性项。
与标准特征值问题一样,其解涉及到求取满足以下方程的特征值和特征向量,
其中多项式次数 p
为非负整数,并且 A0,A1,...Ap
是 n
阶系数方阵。最常见的形式是二次多项式特征值问题,即
二次特征值问题与标准(或广义)特征值问题的一个主要区别是,前者可以有最多 2n 个特征值以及最多 2n 个右特征向量和左特征向量。如果特征向量多于 n 个,则特征向量不会形成线性无关的集。有关二次特征值问题的更多详细信息,请参阅 [1] 和 [2]。
提示
-
polyeig 处理以下简化的情况:
-
p = 0,即 polyeig(A),是标准特征值问题 eig(A)。
-
p = 1,即 polyeig(A,B),是广义特征值问题 eig(A,-B)。
-
n = 0,即 polyeig(a0,a1,...,ap),是标准多项式问题 roots([ap ... a1 a0]),其中 a0,a1,...,ap 是标量。
-
算法
在计算广义特征值时,polyeig 函数使用 QZ 分解求中间结果。polyeig 使用中间结果确定特征值是否是完全确定的。有关详细信息,请参阅 eig 和 qz 的说明。
计算出的解可能不存在或不唯一,还可能计算不准确。如果 A0 和 Ap 都是奇异矩阵,则该问题可能是不适定问题。如果 A0 和 Ap 中只有一个是奇异矩阵,则部分特征值可能为 0 或 Inf。
缩放 A0,A1,...,Ap 以使 norm(Ai) 约等于 1 可能会增加 polyeig 的准确度。但是在一般情况下,这种改进的准确度难以实现。(有关详细信息,请参阅 Tisseur [3]。)
参考
[1] Dedieu, Jean-Pierre, and Francoise Tisseur. “Perturbation theory for homogeneous polynomial eigenvalue problems.” Linear Algebra Appl. Vol. 358, 2003, pp. 71–94.
[2] Tisseur, Francoise, and Karl Meerbergen. “The quadratic eigenvalue problem.” SIAM Rev. Vol. 43, Number 2, 2001, pp. 235–286.
[3] Francoise Tisseur. “Backward error and condition of polynomial eigenvalue problems.” Linear Algebra Appl. Vol. 309, 2000, pp. 339–361.
原文地址:https://blog.csdn.net/jk_101/article/details/133133339
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