区别：矩阵合同和矩阵酉相似
矩阵的合同和酉相似在许多方面具有相似性，但也有明显的区别。
定义
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矩阵合同：给定矩阵 A 和 B ，若存在一个非奇异矩阵 P ，使得
则称矩阵 A 和 B 是合同的。合同变换常用于实对称矩阵的特征问题等。
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酉相似：给定矩阵 A 和 B ，若存在一个酉矩阵
（即满足
） ，使得
则称矩阵 A 和 B 是酉相似的。酉相似常用于复杂矩阵的相似变换，例如 Hermitian 矩阵的特征值分解。
注：非奇异矩阵（non-singular matrix）是指行列式不为零的方阵。
相同点
- 保持矩阵的一些重要性质：
- 二者都会保持矩阵的某些性质。例如，合同和酉相似都可以保持特征值。
- 用于矩阵相似性判断：
- 二者都可用于确定矩阵是否属于同一类（例如，合同矩阵在正定矩阵分类中常用，酉相似在 Hermitian 矩阵分类中常用）。
不同点
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变换矩阵的性质：
- 合同要求变换矩阵 P 是非奇异的，而不要求 P 是酉矩阵或正交矩阵。
- 酉相似要求变换矩阵 U 是酉矩阵，即
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应用范围：
- 矩阵合同多用于实对称矩阵、二次型等问题。
- 酉相似主要用于复矩阵、Hermitian 矩阵等问题。
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保持的性质：
- 特征值：酉相似保持所有特征值，但合同仅保持特征值的类型（例如是否为正或负），不保持其具体值。
- 秩：合同和酉相似都保持矩阵的秩。
- 正定性：合同保持正定性（即如果 A 是正定的，则 B 也是正定的），而酉相似不保证保持正定性。
注：正定矩阵定义：对于复矩阵 A（Hermitian 矩阵，满足，即共轭转置矩阵），如果对于任意非零复向量
满足：
则称 A 是正定矩阵。
总结
矩阵合同的性质
- 合同变换保留矩阵的惯性（正、负、零特征值的数量）。
- 实对称矩阵的合同变换可用于化简二次型。
- 合同变换保持对称矩阵的正定性（即若 A 为正定，则合同矩阵 B 也是正定的）。
酉相似的性质
- 酉相似保持矩阵的特征值和特征值的模。
- 若 A 是 Hermitian 矩阵，则其酉相似矩阵 B 也为 Hermitian。
- 酉相似变换常用于对角化 Hermitian 矩阵，因为 Hermitian 矩阵在酉相似下可以对角化，其特征值为实数。
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