数学基础 -- 导数伪装的极限之变量替换
变量替换的极限计算
变量替换在极限计算中是一种常用的技巧，主要是为了将复杂的函数转换为更简单或更熟悉的形式，以便更容易地计算极限。变量替换的背后逻辑是通过变换变量，使得极限表达式变得更容易处理。
1. 基本原理
变量替换的基本思路是将原变量 x x x 替换为一个新变量 u u u，使得当 x → a x \to a x→a 时， u → b u \to b u→b。替换后，通过新的变量 u u u 来重新表达极限，从而简化计算。
2. 例子和解释
例子 1: lim x → 0 sin x x \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} limx→0xsinx
我们知道：
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
x→0limxsinx=1
这个结果可以通过变量替换来解释。设
u
=
x
u = x
u=x，当
x
→
0
x \to 0
x→0 时，
u
→
0
u \to 0
u→0。因此，我们可以将原表达式重写为：
lim
u
→
0
sin
u
u
\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u}
u→0limusinu
由于我们知道 sin u u \frac{\sin u}{u} usinu 在 u → 0 u \to 0 u→0 时的极限为 1，因此原问题的极限也为 1。
例子 2: lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x limx→∞(1+x1)x
为了计算这个极限，可以使用变量替换。设
u
=
1
x
u = \frac{1}{x}
u=x1，当
x
→
∞
x \to \infty
x→∞ 时，
u
→
0
u \to 0
u→0。因此，我们可以将原表达式重写为：
lim
u
→
0
(
1
+
u
)
1
u
\lim_{u \to 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}}
u→0lim(1+u)u1
我们知道， lim u → 0 ( 1 + u ) 1 u = e \lim_{u \to 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}} = e limu→0(1+u)u1=e。所以原问题的极限为 e e e。
例子 3: lim x → 0 e x − 1 x \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} limx→0xex−1
我们可以使用泰勒展开来解释这个极限。考虑
e
x
e^x
ex 在
x
x
x 附近的泰勒展开：
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
ex=1+x+2!x2+3!x3+⋯
因此，
e
x
−
1
=
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
ex−1=x+2!x2+3!x3+⋯
所以：
e
x
−
1
x
=
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
x
=
1
+
x
2
!
+
x
2
3
!
+
⋯
\frac{e^x - 1}{x} = \frac{x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \cdots
xex−1=xx+2!x2+3!x3+⋯=1+2!x+3!x2+⋯
当
x
→
0
x \to 0
x→0 时，右边的所有高阶项都趋于 0，所以：
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
=
1
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
x→0limxex−1=1
总结
变量替换的目的是通过引入一个新的变量，将复杂的表达式转化为更简单或更熟悉的形式。通过这种方法，可以利用已知的极限结果或者更直观的计算方法，简化极限的求解过程。在具体应用中，需要根据具体问题选择适当的变量替换方式。
原文地址：https://blog.csdn.net/sz66cm/article/details/140621320
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