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小学数学的运输工具租赁规划问题 — 租船租车问题20240301

🕗 发布于 2024-03-01 12:15 学习方法  

引言

在探索数学的旅途中，我们不时会遇到一些看似简单却能深刻反映现实世界复杂性的问题。今天，我想和大家分享一个特别的挑战：如何为四年级的一次春游活动选择最经济的交通工具。这个问题看起来直白，但它蕴含了丰富的数学思考和逻辑推理。

我的思考分析

1. 计算单位乘客成本：

在解决这个问题的第一步，我们首先深入探讨了每种交通工具（大船和小船）的单位乘客成本。通过仔细比较，我们发现在多数情况下，拥有更大容量的交通工具提供了更经济的选择。因此，我们初步决定大船作为我们的首选。

2. 初步方案：

接着，我们利用一个简单的除法运算，根据总乘客人数和大船的容量，来计算所需的大船数量。如果计算的结果显示没有余数，那么全选大船便是我们的最优方案。然而，如果存在余数，这意味着我们还需要进一步的优化。

3. 列表格法优化方案：

为了简化问题的表述，我们使用"M"来代表通过总乘客人数除以大船容量所得的商数。我们还引入了一个变量"E"来表示每个方案中的空位数量。基于这些变量，我们构建了一个包含大船数量、小船数量、总座位数、空位数和总成本的列表格。

这个优化过程遵循以下逻辑：
方案一：以M为起点，计算出大船的数量，并细致考量其他列的数值，尤其是空位数E。
方案二：将大船的数量减至M-1，重新审视每一列的变化。
如此反复，直至我们观察到空位数E达到最小值或开始增加，标志着优化过程的终点。

4. 最优方案选择：

在经过详尽的比较后，我们选择了空位数E最小的方案作为最终的选择，并计算了该方案的总成本。

实战演练:

通过两个实例的分析，我们展示了如何应用这一思考过程。

实例1：

某小学四年级师生122人，去公园划船，大家都要上船，已知：每个大船限坐6人，240元；每个小船限做4人，200元。
那么怎么租船最划算？

步骤1: 计算单人成本
大船每人成本 = 240元 / 6人 = 40元/人
小船每人成本 = 200元 / 4人 = 50元/人
步骤2: 使用除法确定大船需求
122人总数除以大船容量6人，得到需要的大船数量和剩余人数。

需要的大船数量（M）= 122 / 6 = 20…2（20艘大船，还剩2人）
步骤3: 制作表格分析方案
方案 大船数量 小船数量 总座位数 空位数 总成本

方案大船数量小船数量总座位数空位数总成本
120112425000
219212204960

方案1：使用20艘大船加1艘小船，可容纳124人，有2个空位，总成本为20×240+1×200=5000元。
方案2：减少1艘大船，使用19艘大船加2艘小船，正好容纳122人，无空位，总成本为19×240+2×200=4960元。
步骤4: 选择最优方案
比较两个方案，方案2的总成本更低，且没有空位，因此是最划算的方案。

根据你的解题思路，我们分析得出，租用19艘大船和2艘小船是最划算的方案，总成本为4960元。

实例2：

某小学四年级有12为老师带领172名学生去春游，交通工具有大客车和小客车，
已知每个大客车客容量为40人，租金520元。每个小客车客容量16人，租金240元。问怎样租车最省钱？

  1. 计算单位乘客成本
    大客车: 520元/40人 = 13元/人
    小客车: 240元/16人 = 15元/人
    根据计算，大客车为单位成本较低的交通工具。

  2. 计算大客车的数量（M）和余数
    总人数: 12老师 + 172学生 = 184人
    大客车容量: 40人

  3. 制作表格分析
    184人 ÷ 40人/大客车 = 4…24（这意味着最少需要4辆大客车，并且有24人无法乘坐大客车，需要小客车来载运剩余的人员）

方案大客车数小客车数总座位数空位数总成本
14219282560
23418402520

方案一：使用4辆大客车和2辆小客车，总座位数为192，空位数为8，总成本为2560元。
方案二：使用3辆大客车和4辆小客车，总座位数为184，空位数为0，总成本为2520元。

通过比较这些方案，我们可以看到方案二是最优的，因为它没有空位且总成本最低，为2520元。这个方案恰好满足所有人的需求，同时确保成本最低。

这个分析过程遵循了你提出的逐步减少大客车数量、增加小客车数量，直到找到空位数最小的方案的方法。通过这种方式，可以有效地找到成本最优的解决方案，同时保证每个人都有座位。这个过程不仅教给孩子如何解决实际问题，还展示了如何通过比较不同方案的成本和效益来做出决策。

在实例1中，我们发现租用19艘大船加2艘小船是最经济的方案，总成本为4960元。实例2中的分析则指向了使用3辆大客车加4辆小客车的方案，以2520元的成本满足了所有人的需求，同时保持了成本的最低。

python编程展示

def find_optimal_rental_plan(dict_data):
    total_people = dict_data["total"]
    vehicle1_cost, vehicle1_capacity = dict_data["list1"]
    vehicle2_cost, vehicle2_capacity = dict_data["list2"]

    # 计算单位乘客成本
    vehicle1_cost_per_person = vehicle1_cost / vehicle1_capacity
    vehicle2_cost_per_person = vehicle2_cost / vehicle2_capacity

    # 确定单位成本较低的交通工具
    optimal_vehicle = "list1" if vehicle1_cost_per_person < vehicle2_cost_per_person else "list2"
    
    results = []

    # 使用列表格法优化方案
    for vehicle1_count in range(total_people // vehicle1_capacity + 1):
        vehicle2_count = -(- (total_people - vehicle1_count * vehicle1_capacity) // vehicle2_capacity)  # 向上取整
        total_seats = vehicle1_count * vehicle1_capacity + vehicle2_count * vehicle2_capacity
        empty_seats = total_seats - total_people
        total_cost = vehicle1_count * vehicle1_cost + vehicle2_count * vehicle2_cost
        results.append((vehicle1_count, vehicle2_count, empty_seats, total_cost))

    # 找到空位数最小且总成本最低的方案
    optimal_plan = min(results, key=lambda x: (x[2], x[3]))

    return {
        "optimal_vehicle": optimal_vehicle,
        "vehicle1_count": optimal_plan[0],
        "vehicle2_count": optimal_plan[1],
        "empty_seats": optimal_plan[2],
        "total_cost": optimal_plan[3]
    }

# 示例数据
dict_data = {
    "total": 184,
    "list1": [520, 40],  # 大客车信息: [租赁金额, 单位容量]
    "list2": [240, 16]   # 小客车信息: [租赁金额, 单位容量]
}

# 调用函数
optimal_plan = find_optimal_rental_plan(dict_data)

print("最优交通工具:", optimal_plan["optimal_vehicle"])
print("大客车数量:", optimal_plan["vehicle1_count"])
print("小客车数量:", optimal_plan["vehicle2_count"])
print("空位数量:", optimal_plan["empty_seats"])
print("总成本:", optimal_plan["total_cost"])

运算结果:
C:\Users\mathe.conda\envs\cs_pygui_env\python.exe D:/git_new_src/python_gui/数学探索/zuli20240301.py
最优交通工具: list1
大客车数量: 3
小客车数量: 4
空位数量: 0
总成本: 2520

进程已结束,退出代码0

代码重点解析

在这段代码中，optimal_plan = min(results, key=lambda x: (x[2], x[3]))是用来从所有可能的租赁方案中找出最优方案的。这里的最优方案是指空位数最少且总成本最低的方案。

详细解释：
results：这是一个列表，包含了所有可能的租赁方案。每个方案都是一个元组，包含四个元素：(vehicle1_count, vehicle2_count, empty_seats, total_cost)，分别代表大客车的数量、小客车的数量、空位数量和总成本。

min()函数：这个函数用来从results中找出最小的元素，也就是最优的租赁方案。但是，“最小”的定义不仅仅基于单一的标准，这就是为什么需要key参数的原因。

key=lambda x: (x[2], x[3])：这里的key参数是一个函数，它定义了如何比较results中的每个元素（也就是每个租赁方案）。lambda x: (x[2], x[3])是一个匿名函数，它接受一个元素x（一个租赁方案的元组），并返回一个包含两个元素的元组(x[2], x[3])，其中x[2]是空位数量，x[3]是总成本。

通过将每个方案转换为一个包含空位数量和总成本的元组，min()函数就可以首先根据空位数量进行比较（x[2]），然后在空位数量相同的情况下，根据总成本进行比较（x[3]）。这意味着如果有两个方案的空位数量相同，那么成本较低的方案会被认为是更优的。

结果解释：
这行代码的执行结果，optimal_plan，是一个元组，表示在所有考虑的租赁方案中，空位数最少且总成本最低的方案。通过这种方式，我们能够找到既节约成本又高效利用座位的最优租赁方案。

这种方法的优点是它能够在多个标准下找出一个“最佳”解决方案，这在解决实际问题时非常有用，尤其是在需要在不同因素之间权衡时。

结论：

在解决小学租船租车问题的过程中，我们实际上采用了一种类似于编程中解决复杂问题的方法：分析问题的内在规律，制定一个高效的规划算法，确定边界条件，并通过实例调试来验证算法的准确性。这不仅是一个关于数学的练习，更是一次关于逻辑思维和问题解决技巧的培养。

操作性强的通用解题思路： 我们首先计算单位成本，以决定最经济的交通工具，然后通过除法基本操作确定所需的大船（或大客车）数量。如果有余数，我们进一步探索不同的大船和小船（或大客车和小客车）组合，通过制作表格法优化方案，直至找到最优解。这一过程不仅锻炼了孩子的基本数学技能，更重要的是训练了他们的逻辑思维和问题解决能力。

与孩子共享思考过程： 在这个过程中，我与孩子一同探讨问题，共同分析数据，一起讨论不同方案的优劣。这种互动不仅加深了孩子对数学概念的理解，也培养了他们独立思考和解决问题的能力。更重要的是，它教会了孩子面对问题时如何不固化思维，灵活地寻找解决方案。

体现亲子教育的具体实践： 通过这个数学问题，我们实际上演练了一次小型的“项目管理”，从问题分析到方案实施，再到结果验证，每一步都充满了探索和发现的乐趣。这不仅是孩子的学习过程，也是父母与孩子共同成长的过程。我们通过具体的数学问题，共同体验了从未知到已知，从困惑到豁然开朗的过程。

总而言之，通过这个看似简单的小学数学问题，我们实际上实践了一种高效、可操作的解题方法。这种方法不仅适用于数学问题，更能广泛应用于生活中的各种挑战。作为一个程序员父亲，我希望通过这样的活动，不仅传授给孩子数学知识，更重要的是教会他们一种解决问题的思维方式，让他们在未来面对各种挑战时，都能够胸有成竹，游刃有余。

这次的租船租车问题解决之旅，不仅加深了我们对数学的理解，更让我们享受了解决问题的过程和与家人一起成长的乐趣。希望每位读者都能从中获得启发，与孩子一起，在学习和生活的道路上不断前行，探索更多的可能。


原文地址：https://blog.csdn.net/Narutolxy/article/details/136389201

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